极限不存在的证明

不如何证明极限不存在一、归结原则原理:设f在);('00xU内有定义，)(lim0xfxx存在的充要条件是：对任何含于);('00xU且以0x为极限的数列nx极限)(limnnxf都存在且相等。例如：证明极限xx1sinlim0不存在证：设),2,1(221,1nnxnxnn，则显然有，)(0,0nxxnn)(111sin,001sinnxxnn由归结原则即得结论。二、左右极限法原理：判断当0xx时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明)1arctan()(xxf当0x时的极限不存在。因为2)1arctan(lim0xxx=0，2)1arctan(lim0xx，)1arctan(lim)1arctan(lim00xxxx，所以当0x时，)1arctan(x的极限不存在。三、证明x时的极限不存在原理：判断当x时的极限，只要考察x与x时的极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明xexf)(在x时的极限不存在因为0limxxe，xxelim；因此，xxxxeelimlim所以当x时，xe的极限不存在。四、柯西准则原理：设f在);('00xU内有定义，)(lim0xfxx存在的充要条件是：任给0，存在正数)(，使得对任何);(,00xUxx，使得0)()(xfxf。例如：在方法一的例题中，取10，对任何0，设正数1n，令21,1nxnx即证。五、定义法原理：设函数)(xf在一个形如),(a的区间中有定义，对任何RA，如果存在00，使对任何0X都存在Xx0,使得00)(Axf,则)(xf在x时没有极限。例如：证明xxcoslim不存在设函数xxfcos)(，)(xf在),0(中有定义，对任何RA，不妨设0A,取210，于是对任何0，取00反证法（利用极限定义）数学归纳法