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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 质量控制/管理 > 7.5 正态总体均值与方差的区间估计
第五节正态总体均值与方差的区间估计一、单个总体的情况二、两个总体的情况三、小结一、单个总体的情况),(2N,)1(2为已知由上节例1可知:1的置信区间的一个置信水平为.2/znX的置信区间均值1.,1设给定置信水平为,,,21nXXX并设,),(2的样本为总体N分别是样本均值和2,SX.样本方差,)2(2为未知,能直接使用此区间2SS可用的置信区间的置信度为1.)1(2/ntnSX推导过程如下:,2/中含有未知参数由于区间znX不,22的无偏估计是但因为S,替换)1()1(2/2/ntnSXntnSXP1的置信区间的置信度为于是得),1(~/ntnSX)1(/)1(2/2/ntnSXntP又根据第六章定理三知则即,1,1.)1(2/ntnSX解)15(025.0t.0.95的置信区间的置信度为,1315.2例1有一大批糖果,现从中随机地取16袋,重量(克)如下:称得496509502506496493505514512497510504503499508506设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体均值10.95,1n,152025.0,2022.6计算得x,75.503s的置信区间的置信度为得5%91315.2162022.675.503).1.507,4.500(这个估计的可信程度为95%.即就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间,,的近似值为若依此区间内任一值作其误这个误差的可信度为95%.差不大于21315.2162022.6).(61.6克推导过程如下:12的置信区间的置信度为方差.)1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn.未知的情况只介绍2的置信区间方差2.,根据实际需要,22的无偏估计是因为S),1(~)1(222nSn根据第六章第二节定理二知)1()1()1(22/2222/1nSnnP)1()1()1()1(22/12222/2nSnnSnP则即,1,112的置信区间的置信度为于是得方差.)1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn1的置信区间的一个置信度为标准差.)1(1,)1(122/122/nSnnSn进一步可得:在密度函数不对称时,,2分布分布和如F注意:习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).二、单侧置信区间).,(的双侧置信区间得到,在以上各节的讨论中,对于未知参数我们,,给出两个统计量但在某些实际问题中,例如,对于设备、元件的寿命来说,平均寿命长是我们希望的,我们关心的是与之相反,;的“下限”平均寿命在考虑化学药品,时中杂质含量的均值的我们常关心参数.“上限”这就引出了单侧置信区间的概念.1.单侧置信区间的定义,1}{P.侧置信下限,)10(对于给定值,,,21XX若由样本,),,,(21nnXXXX确定的统计量对于任满足意的的置信水平为是则称随机区间1),(,单侧置信区间的单的置信水平为称为1),,,,(21nXXX又如果统计量对于任满足意.置信上限,1}{P的的置信水平为是则称随机区间1),(,单侧置信区间的单侧的置信水平为称为12.正态总体均值与方差的单侧置信区间均为方差2,,,,21是一个样本设nXXX),1(~/ntnSX)1(/ntnSXP例如对于正态总体X,,若均值,未知由有,1)1(ntnSXP,1即,),1(ntnSX的置信下限的置信水平为1).1(ntnSX的单侧置信区间的一个置信水平为于是得1),1(~)1(222nSn又由,1)1()1(2122nSnP有,)1()1(,0212nSn12的单侧置信上限的置信水平为,1即)1()1(2122nSnP的单侧置信区的一个置信水平为于是得12间.)1()1(212nSn2解,5n,1160x1,1318.2,99502s的置信下限的置信水平为.950例设从一批灯泡中,随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为1050,1100,1120,1250,1280,设灯泡寿命服从正态分布,求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.,95.0)1(nt)4(05.0t.1065)1(ntnsx补充例题.)1()1(,0212nSn三、小结,),1(ntnSX1的单侧置信区间的置信度为正态总体均值12的单侧置信区间的置信度为正态总体方差,)1(,ntnSX单侧置信上限单侧置信下限2单侧置信上限.的样本方差二、两个总体的情况),(),,(222211NN,1设给定置信度为为并设,,,21nXXX,),(211的样本第一个总体N为第二nYYY,,,21,),(222的样本个总体N分别是第一、二个YX,,总体的样本均值分别是第一、二个总体2221,SS21的置信区间两个总体均值差1.均为已知和2221)1(121的置信区间的一个置信度为.2221212/nnzYX,,,21的无偏估计分别是因为YX,21的无偏估计是YX推导过程如下:所以的独立性及由,YX,,~1211nNX,,~2222nNY,,~22212121nnNYX,1,0~22212121NnnYX可知或121的置信区间的一个置信度为于是得.2221212/nnzYX),50(21则有即可实用上都很大和只要nn121的近似置信区间的一个置信度为.2221212/nSnSzYX,2221均为未知和(2),)3(22221121的置信区间的一个置信度为,2为未知但.11)2(21212/nnSnntYXw其中2wS,2)1()1(21222211nnSnSnwS.2wS例3为比较І,ІІ两种型号步枪子弹的枪口速度,),s/m(5001x),s/m(10.11s标准差随机地取ІІ得枪口速度平均值为),s/m(4962x),s/m(20.12s标准差假设两总体都可认为近似且由生产过程可认为它们的方差.95021的置的置信度为信区间.随机地取І型子弹10发,得到枪口速度的平均值为型子弹20发,地服从正态分布,相等,求两总体均值差解两总体样本是相互独立的.由题意,但数值未知.又因由假设两总体的方差相等,)28(025.0t.048.210.95,2,025.0由于1n,102n,20221nn28,28)20.11910.19(22,1688.12wsws2wS.950的置信区间的一个置信度为故所求的两总体均值差21201101)28(025.021tSxxw),93.04().93.4,07.3(即例4试图采用为提高某一化学生产过程的得率,一种新的催化剂,为慎重起见,在试验工厂先进行试验.次试验行了设采用原来的催化剂进81n.73.911x得到得率的平均值,89.321s样本方差次试验,又采用新的催化剂进行82n,75.932x的平均值得到得率,02.422s样本方差假设两体都可认为近似地服从正态分布,且方差相等,求的置信区的置信水平为两总体均值差95.021.间解现在2ws2)1()1(21222211nnSnSn,3.96.95021的置信区间的一个置信水平为于是得8181)14(025.021tsxxw,)13.202.2().11.0,15.4(所求置信区间为即.,21为未知的情况仅讨论总体均值2221的置信区间两个总体方差比2.22212221SS),1,1(~21nnF由第六章第三节定理四.)1,1(21不依赖任何未知参数并且分布nnF为枢轴量得取22212221SS)1,1()1,1(212/22222121212/1nnFSSnnFP,1即)1,1(1)1,1(1212/122212221212/2221nnFSSnnFSSP,1.)1,1(1,)1,1(1212/12221212/2221nnFSSnnFSS12221的置信区间的一个置信度为于是得例5设两样本相互独);mm(34.0221s为).mm(29.0222s测得样本方差研究由机器A和机器B生产的钢管内径,随机抽取机器A生产的管子18只,测得样本方差抽取机器B生产的管子13只,区间.且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服),,(),,(222211NN从正态分布)2,1(,2iii的置信的置信度为求方差比90.02221立,均未知,解1n2n,10.0),mm(34.02),mm(29.02)1,1(212/nnF)12,17(05.0F,59.2)12,17(95.0F,38.21)12,17(2/1F)17,12(105.0F,1821s,1322s.9002221的置信区间为的一个置信度为于是得38.229.034.0,59.2129.034.0.79.2,45.0补充例题)1(的置信区间单个总体均值,2为已知.2/znX,2为未知.)1(2/ntnSX)2(2的置信区间单个总体方差.)1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn三、小结)3(21的置信区间两个总体均值差,2221均为已知和.2221212/nnzYX,2221均为未知和.2221212/nSnSzYX,,222221为未知但.11)2(21212/nnSnntYXw).4(2221的置信区间两个总体方差比,21为未知总体均值.)1,1(1,)1,1(1212/12221212/2221nnFSSnnFSS
本文标题:7.5 正态总体均值与方差的区间估计
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