活动三 力矩与平面力偶系

活动三力矩与平面力偶系力矩力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。一、力对点的矩实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F的大小有关，而且还与点O到力作用线的垂直距离d有关。1、概念用F与d的乘积再冠以适当的正负号来表示力F使物体绕O点转动的效应，并称为力F对O点之矩，简称力矩，以符号MO（F）表示，即()oMFFdO点称为力矩的中心，简称矩心；O点到力F作用线的垂直距离d，称为力臂。力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。力矩的单位：国际制N·m，kN·m工程制公斤力米（kgf·m）力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即面积OAB2)(OFM2、力矩的性质1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和等于零。例1简支刚架如图所示，荷载F=15kN，α=45,尺寸如图。试分别计算F对A、B两点之矩。ABF4m1m1mαo1d2d解：1()151sin451522BMFFdKNm2()154sin45302AMFFdKNm二、合力矩定理平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和。)()()()()(OnO2O1OOFRMMMMMFFF证明：如图所示，设在物体上的A点作用有两个汇交的力F1和F2，该力系的合力为R。在力系的作用面内任选一点O为矩心，过O点并垂直于OA作为y轴。从各力矢的末端向y轴作垂线，令Y1、Y2和Ry分别表示力F1、F2和R在y轴上的投影。可见：oboboby2211RYYOAOAOAOB2)(OAOAOAOB2)(OAOAOAOB2)(yO2222O1111ORbMYbMYbMRFF21yYYROAOAOA21yYYR)()()(2O1OOFMFMMR各力对O点之矩分别为根据合力矩定理有上式两边同乘以OA得最后可得：三、力矩的计算例2、图3-3a所示的圆柱齿轮，受到法向力Fn的作用。设Fn=700N，压力角a=20°，齿轮的节圆半径r‘=80mm，试计算力Fn对轴O的矩。解：此力矩可用两种方法计算：（1）根据力矩的定义求解由图可见，力臂，故可得coshr()cos7000.08cos2052.62onnnMFFhFrNm因力Fn使齿轮逆时针转动，故力矩MO(Fn）为正值。(2）用合力矩定理求解先将Fn分解为圆周力Ft和径向力FrcossintnrnFFFF()()()cos07000.08cos2052.62onotornMFMFMFFrNm利用合力矩定理可得例3、求如图所示各分布荷载对A点的矩mkN313221)(AqMmkN185.134)(AqM根据合力矩定理可知，分布荷载对某点之矩就等于其合力对该点之矩（1）计算图3－6（a）三角形分布荷载对A点的力矩（2）计算图3－6（b）均布荷载对A点的力矩为（3）计算图3－6（c）梯形分布荷载对A点之矩。此时为避免求梯形形心，可将梯形分布荷载分解为均布荷载和三角形分布荷载，其合力分别为R1和R2，则有mkN15232215.132)(AqM力偶及力偶系方向盘上作用的力作用在丝锥上的力一、力偶和力偶矩符号或M作用在同一物体上，大小相等、方向相反、但不共线的一对平行力称为力偶。记作M（Ｆ，Ｆ）。dFF====力偶中两个力的作用线间的距离d称为力偶臂。两个力所在的平面称为力偶的作用面。d作用面平面力偶系作用在同一平面力偶系。BFBFAAMF’F力偶系作用于同一物体上的若干个力偶组成的系统。力偶矩反映力偶对物体产生转动效应的大小。(,)MFFFd力偶矩的正负逆时针转为正顺时针转为负即力偶矩的单位：N.m力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶转向；力偶的作用面二、力偶的性质1．力偶没有合力，不能用一个力来代替力偶在任一轴上的投影等于零coscos0XFF力偶对物体只能产生转动效应，而一个力在一般情况下，对物体可产生移动和转动两种效应。力偶不能用一个力来代替，即力偶不能简化为一个力，因而力偶也不能和一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。力偶和力是组成力系的两个基本物理量。2．力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩，与矩心位置无关力偶（F，F′），力偶臂为d，逆时针转向，其力偶矩为m=Fd，在该力偶作用面内任选一点O为矩心，设矩心与F′的垂直距离为x。显然力偶对O点的力矩为mFdxFxdFFFM)(),(O3．力偶的等效等效3N3N4m6m2N2N同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶等效，称为力偶的等效性。推论：1）力偶在其作用面内可以任意移转，而不改变它对刚体的转动效应。即力偶对刚体的转动效应与它在作用面内的位置无关。2）在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动效应。力偶对于物体的转动效应完全取决于力偶矩的大小、力偶的转向及力偶作用面，即力偶的三要素。三、平面力偶系的合成F1′F1d1d2F2′F2222111,dFMdFM=F11′F22′F22F11ddFMdFM222111,dFR′FR=2211R2211R,FFFFFF两个力偶的情况这样得到新的力偶(FR,FR′),则M=FRd=(F11-F22)d=F11d-F22d=M1+M2平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即MMMMMn.......21合(2)任意个力偶的情况M1M2Mn例４如图所示，在物体同一平面内受到三个力偶的作用，设mN150N,400N,20021mFF，求其合成的结果。mN150mN20030sin25.0400mN20012003222111mmdFmdFmmN250150200200321immmmM得合力偶为mN250即合力偶矩的大小等于转向为逆时针方向，作用在原力偶系的平面内。解：三个共面力偶合成的结果是一个合力偶，各分力偶矩为四、平面力偶系的平衡1.平衡条件平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即120nMMMMM合2、平面力偶系平衡方程0M例5、如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，q=30°，不计各杆自重，试求M1和M2间的关系。BODqM1M2A分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO和FD只能分别平行于FAB和FBA，且与其方向相反。BDM2FDFBAOM1FOFABA写出杆OA和DB的平衡方程：∑M=002021cosrFMcosrFMBAABBAABFF因为122MM所以求得