统计数据的描述剖析

2020/1/181第三章数据分布特征的描述3.1集中趋势的度量3.2离散程度的度量3.3偏态与峰态的度量2020/1/1823.1.1什么是集中趋势(centraltendency)1.一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度2.测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值3.不同类型的数据用不同的集中趋势测度值4.注意：低层次数据的测度方法也适用于高层次的数据，但高层次数据的测度方法往往不适用于低层次的数据。2020/1/1833.1.2分类数据---众数1.一组数据中出现次数最多的变量值2.适合于数据量较多时使用3.不受极端值的影响4.一组数据可能没有众数或有几个众数5.主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据2020/1/184众数(不惟一性)无众数原始数据:10591268一个众数原始数据:659855多于一个众数原始数据:2528283642425有时众数是一个合适的代表值比如在服装行业中，生产商、批发商和零售商在做有关生产或存货的决策时，更感兴趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。2020/1/1861、分类数据的众数(例题分析)不同品牌饮料的频数分布饮料品牌频数比例百分比(%)可口可乐旭日升冰茶百事可乐汇源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合计501100解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即Mo＝可口可乐2020/1/1872、顺序数据的众数(例题分析)解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即Mo＝不满意甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)非常不满意不满意一般满意非常满意24108934530836311510合计300100.02020/1/1883、数值型数据的众数1）单变量值分组数据某年级83名女生身高资料身高人数（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634身高人数（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741总计83STAT2020/1/1892）组距分组数据众数的计算公式2020/1/1810GEFDCABfXf3f2f1dLUM0Δ1Δ2得到证明。同理，上限公式也可以dLMdffffffLMffCDffABABCDdABLM2110123212032120)()(众数的计算公式可以从几何图形得到证明：00AEBDECEFEGABCDLMdLMABCD图中：，即2020/1/1811身高人数比重（CM）（人）（%）150-15533.61155-1601113.25160-1653440.96165-1702428.92170以上1113.25总计83100某年级83名女生身高资料组距分组数据的众数112oMLd48.1635102323160oMSTAT2020/1/18123.1.3顺序数据---中位数和分位数1、顺序数据----中位数1)排序后处于中间位置上的值Me50%50%2)不受极端值的影响3)主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据4)各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即min1eniiMx2020/1/1813中位数(位置的确定)未分组数据：分组数据：21n中位数位置22fn中位数位置2020/1/1814①顺序数据的中位数(例题分析)解：中位数的位置为300/2＝150从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中中位数为Me=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数非常不满意不满意一般满意非常满意2410893453024132225270300合计300—2020/1/1815②未分组数值型数据的中位数(奇数个数据的算例)【例】9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789中位数1080521921n位置21neXM2020/1/1816未分组数值型数据的中位数(偶数个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:66075078085096010801250150016302000位置:123456789105.5211021n位置102021080960中位数2122nneXXM2020/1/1817dfSfLMmme12③组距分组数据中位数的计算公式em-1m式中:M中位数L中位数组的下限f中位数的位置值2S向上累计到中位数组的前一组为止的累计频数f中位数组的频数d中位数组的组距2020/1/1818（组距分组）共个单位2f共个单位2f共个单位1mS共个单位1mSL中位数组组距为d共个单位mf假定该组内的单位呈均匀分布中位数下限公式为12memfSMLdf该段长度应为12mmfSdfU12mfS共有单位数2020/1/1819身高人数累计（CM）（人）人数150-15533155-1601114160-1653448165-1702472170以上1183总计83某年级83名女生身高资料dfSfLMmme1204.16453414283160eMSTAT组距分组数据的中位数20如果统计资料中含有异常的或极端的数据，就有可能得到非典型的甚至可能产生误导的平均数，这时使用中位数来度量集中趋势比较合适。比如有5笔付款：9元，10元，10元，11元，60元平均付款为100/5=20元。很明显，这并不是一个好的代表值，而中位数10元是一个更好的代表值。2020/1/18212、顺序数据----分位数（1）四分位数1)分位数有二分位数（中位数）、四分位数、十分位数和百分位数等。其中主要有四分位数。2)排序后处于25%和75%位置上的值即四分位数3)不受极端值的影响4)主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据QLQMQU25%25%25%25%2020/1/1822A）原始数据四分位数的位置下四分位数上四分位数LQ41nQL位置UQ413nQU位置2020/1/1823【例】某学习小组的统计学考试成绩如下：要求：（1）计算前15个学生统计学考试成绩的四分位数；（2）如果增加一个学生的成绩95分，试计算16个学生统计学考试成绩的四分位数。2020/1/18242020/1/1825B）根据组距数列计算四分位数2020/1/1826根据组距数列计算四分位数2020/1/1827十分位数是指将按大小顺序排列的一组数据划分为10等分的9个变量值，用以反映一组数据在各个区间的一般水平。（2）十分位数2020/1/1828（3）百分位数29☆位置测度的一种常用方法：百分位数(Percentile)含义：第p个百分位数是这样的数值：至少有p%个数值跟它一样大或比它小；至少有(100－p)%个数值跟它一样大或比它大。例如，一个考生入学考试的口语成绩是55分，对应第70个百分位数，我们就可以知道大约有70%的考生成绩比他低，或者说大约有30%的考生成绩比他高。2020/1/1830算术平均数定义：全部变量值之和与变量值个数相除所得到的结果。按其计算形式又有简单算术平均数和加权算术平均数之分。STAT平均数（average）的定义----变量值的一般水平，通常也称为均值(mean)。有算术均值、调和均值和几何均值。3.1.4数值型数据---平均数一.算术平均数2020/1/1831（一）简单算术平均数如果是未分组整理的原始资料，则直接将各个数据加总再除以数据的个数即得到平均数。设一组数据为，则其算术平均数的计算公式为2020/1/1832（二）加权算术平均数根据分组整理的数据计算平均数时，需要先用每个组的变量值或组中值分别乘以各自的频数或频率，然后加总再除以总频数或总频率，即得算术平均数。其计算公式为2020/1/1833【例】2005年某市红星幼儿园共有458名儿童，其年龄资料如表3.2所示。要求：试计算该幼儿园儿童的平均年龄。单变量值分组数据均值的计算2020/1/1834身高组中值人数比重（cm）xi(cm)fi（人）（%）150-155152.533.61155-160157.51113.25160-165162.53440.96165-170167.52428.92170以上172.51113.25总计--83100组距分组数据均值的计算某年级83名女生身高资料组距数列次数f频率f/∑f变量值xSTAT加权算术平均数164.25xfxfx164.25fxxfx2020/1/1835权数及其起作用的条件用各组的组中值代表其实际数据计算算术平均数时，通常假定各组数据在组内是均匀分布的，相应的组中值近似等于各组的平均数。权数：衡量变量值相对重要性的数值。各个变量值的权数要起作用必须具备两个条件：一是各个变量值之间有差异；二是各个变量值的权数有差异。简单算术平均数是加权算术平均数在权数相等时的特例。2020/1/18361.集中趋势的最常用测度值；2.一组数据的均衡点所在；3.各变量值与其均值的离差之和等于零，即；4.各变量值与其均值的离差平方和最小，即5.由组距分组资料计算的均值有近似值性质；6.易受极端值的影响；主要用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据（三）算术平均数（均值）特征37思考题比特啤酒公司雇用了468名员工，其中有56名管理人员，130名行政和技术人员，其余282人是工人。这三组人的周平均工资分别是500英镑、300英镑和200英镑。财务主管希望计算全体员工的平均工资。)(33.3333200300500英镑NXXi2020/1/1838二.调和平均数（harmonicmean）1、调和平均数也称“倒数平均数”，它是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数2、平均数的另一种表现形式3、易受极端值的影响4、计算公式为原来只是计算时使用了不同的数据！2020/1/1839调和平均数(例题分析)某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元)xi（已知）成交额(元)xifi（已知）成交量(公斤)fi甲乙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合计—3690048000【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格369000.76948000mH成交额（元）成交额批发价格2020/1/1840算术平均数与调和平均数的关系1.从数学定义角度看算术平均数与调和平均数是不一样的，但在社会经济应用领域，调和平均数实际上只是算术平均数的另一种表现形式，二者本质上是一致的，惟一的区别是计算时使用了不同的数据。2.计算比率的平均数时，如果已知比率及其基本计算式的分母资料，则采用加权算术平均法；如果已知比率及其基本计算式的分子资料，则采用加权调和平均法。2020/1/1841【例】某市某行业150个企业的产值利润率及相关资料如表3.8。要求：试分别计算该行业150企业第一季度和第二季度的平均产值利润率。算术平均数与调和平均数的关系2020/1/1842三.几何平均数(geometricmean)1、含义及应用条件1)定义：n个变量值乘积的n次方根2)应用范围：适用于比率数据的平均，主要用于计算平均发展速度、平均增长率、平均比率3)应用的前提条件：各个比率或速度的连乘