第13章 机械振动基础-11

第13章机械振动基础13-1机械振动及其描述13-2单自由度系统振动13-3两自由度系统振动13-4机械振动的工程应用2020/1/18理论力学213.1.1机械振动现象振动是日常生活和工程实际中常见的现象。例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。利：振动给料机弊：磨损，减少寿命，影响强度振动筛引起噪声，影响劳动条件振动沉拔桩机等消耗能量，降低精度等。研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。振动的利弊：所谓机械振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。13-1机械振动及其描述2020/1/18理论力学3振动系统模型1.力学模型•连续系统实际工程结构的物理参数，例如板壳、梁、轴等的质量及弹性，一般是连续分布的，保持这种特点抽象出的模型中的系统称为连续系统或分布参数系统。•离散系统绝大多数场合中，为了能够分析或者便于分析，需要通过适当的准则将分布参数“凝缩”成有限个离散的参数，这样便得到离散系统。2020/1/18理论力学42.自由度自由度数是指完全描述该系统一切部位在任何瞬时的位置所需要的独立坐标的数目。力学模型离散系统连续系统自由度数多自由度系统无限自由度系统参数特征集中参数系统分布参数系统数学工具常微分方程偏微分方程最简模型单自由度系统一维振动2020/1/18理论力学53.振动系统：按运动微分方程的形式分振动/系统分类运动方程线性叠加原理线性振动/系统线性微分方程成立非线性振动/系统非线性微分方程不成立2020/1/18理论力学64.振动分类按激励的有无和性质分振动分类定义特点与例子固有振动无激励时系统所有可能运动的集合不是现实的振动，仅反映系统关于振动的固有属性。自由振动激励消失后系统所作的振动是现实的振动。强迫振动系统在外界激励下所作的振动随机振动系统在非确定性的随机激励下所作的振动。包括物理参数具有随机性质的系统发生的振动。行驶在公路上的汽车的振动。自激振动系统受到由其自身运动诱发出来的激励作用而产生和维持的振动。系统包含有补充能量的能源。演奏提琴所发出的乐声,是琴弦作自激振动所致。车床切削加工时在某种切削用量下所发生的激烈的高频振动,架空电缆在风作用下所发生的与风向垂直的上下振动以及飞机机翼的颤振等。参数振动激励因素以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动。秋千在初始小摆角下被越荡越高，受到的激励以摆长随时间变化的形式出现，摆长的变化由人体的下蹲及站直造成。2020/1/18理论力学7(2)Af振幅圆频率初相角13.1.2.简谐振动1.表示2.三要素()sin()xtAt2020/1/18理论力学812Tf3.周期与频率周期T频率f12fT单位：T：s(秒)f：Hz(赫兹)ω：rad/s2020/1/18理论力学94.位移、速度与加速度位移速度加速度()sin()xxtAt()cos()sin()2dxtxAtdtAt&2222()sin()sin()dxtxAtdtAt&&2020/1/18理论力学105.位移、速度与加速度关系(1)位移、速度与加速度均为简谐函数，且同频。(2)速度超前位移90º，加速度超前位移180º。(3)加速度与位移关系：加速度与位移成正比,方向相反,指向平衡位置。2xx&&2020/1/18理论力学11旋转矢量简谐振动表示位移、速度与加速度关系ωxReImoM’ωtMReImoAωReImoAωAωAω26.旋转矢量表示()sin()xtAt2020/1/18理论力学12()jtzAe()Im()sin()xtzAt()jjtjtztAeeAejAAe旋转矢量复振幅，包含振幅和相位信息cos()sin()AtjAt7.复数表示2020/1/18理论力学13二.简谐振动合成1.两个同频率振动合成111()sin()xtAt12()()()sin()xtxtxtAt2211221122(sinsin)(coscos)AAAAA11221122sinsincoscosAAtgAA222()sin()xtAt同频振动合成ReImx(t)oωφAA1φ1ωA2φ2ω2020/1/18理论力学14111222()sin()sinxtAtxtAt二.简谐振动合成2.两个不同频率振动合成(1)1与2之比为有理数11221222mmnTmTnTn设12()()()xtxtxt12112212()()()()()()()()xtTxtTxtTxtmTxtnTxtxtxt2020/1/18理论力学15111222()sin()sinxtAtxtAt二.简谐振动合成2.两个不同频率振动合成(1)1与2之比为有理数T为x1(t)和x2(t)合成之周期。结论：两不同频振动合成不再为简谐振动。但频率比为有理数时，可合成为周期振动。合成振动周期为两简谐振动周期之最小公倍数。2020/1/18理论力学16()2cossin2()sinxtAttAtt1212AAA若，设(2)1与2之比为无理数结论:无公共周期，合成振动为非周期振动。111222()sin()sinxtAtxtAt21212cossin22Att121122()()()sinsinxtxtxtAtAt21212令：，()2cos2AtAt2020/1/18理论力学17(2)1与2之比为无理数“拍”:频率为ω的变幅振动，振幅在0~2A之间缓慢周期变化。包络线为A(t)，拍频为△。2A124212tx(t)o2020/1/18理论力学18x(t)stl0kABxomgFm—物块质量k—弹簧刚度l0—弹簧自然长度st—弹簧静变形静止时0,0stXmgk运动时0,()stXmgkxmx&&0mxkx&&20nxx常系数二阶齐次微分方程&&13.2.1单自由度系统自由振动1.单自由度弹簧质量系统模型13-2单自由度系统振动固有圆频率式中mkn2020/1/18理论力学192.单自由度固有振动方程求解2200100()sin()nnnxAxxtAtxtgx&&20nxx&&振动方程：00cossinnnnxxxtt&解0102nxCxC&000,txxxx&&初始条件：积分常数—、通解：2121,sincosCCtCtCxnn无阻尼自由振动周期kmTn22固有频率mkTfnn2121nnf22020/1/18理论力学203.单自由度系统自由振动初始条件：()()txxxx&&时，初始位移：初始速度：()cos()sin(),nnnxxtxttt&时刻后自由振动解：对于t=0初始条件：000(0)(0)txxxx&&，，00()cossin,0nnnxxtxttt&2210000nnxxAxtgx&&，2020/1/18理论力学214.固有频率计算—静变形法stmgkQstngmk2020/1/18理论力学2213.2.2计算固有频率的能量法:原理与方法对不计阻尼的系统，因为没有能量损失，所以可以用能量守恒原理建立自由振动微分方程，或直接求出系统固有频率。方法设系统任一瞬时的动能及势能分别为T及U，由机械能守恒有0)(UTdtd将系统能量的具体表达式代入，便可导出自由振动微分方程，并求出系统固有频率。原理2020/1/18理论力学23例1弹簧质点系统212Tmx&2021kxkxdxUx动能势能2211()()022()0ddTUmxkxdtdtmxkxx&&&&0mxkx&&由于速度不可能恒为零k2020/1/18理论力学242maxmax12Tmx&2maxmax21kxU•在静平衡位置，系统势能为零，动能最大•在最大位移处，系统动能为零，势能最大maxmaxUTmaxmaxnxx&固有圆频率mkn能量守恒考虑两个特殊位置上系统能量：由于系统的固有振动是以固有频率为振动频率的简谐振动，所以最大速度与最大位移有关系：2020/1/18理论力学25例2位移计k2BWk1bcO质量块重W,摇臂AB绕支点O的转动惯量为I,两弹簧刚度为k1,k2,求系统固有频率。解22max11()22mmxWTxIgb&&2221max)(2121mmxbckxkU最大动能最大势能maxmaxUT22221//)/(bIgWkbckn能量守恒22221)(21mxkbck222)(21nmxbIgW设质块最大速度和最大位移为mmxx&，2//mmxbkcxb摇臂最大角速度弹簧最大伸长量&2020/1/18理论力学26例3圆柱体微振动重W半径r的圆柱体在半径为R圆柱面内作无滑动滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微振动的微分方程和固有频率。解设角坐标，系统势能为2/)()cos1)((2rRWrRWUA为瞬心，质心线速度为设圆柱体转动角速度为&()()/cvRrrRrr&&&&系统动能2222221211()()223()4ATIWWRrrrggrWRrg&&&23()()02203()23()nWRrWRrggRrgRr&&&&2020/1/18理论力学27弹簧串并联1.并联弹簧变形相等21kkKe等效弹簧刚度stl0mgF1F2k1k2stl0mgFKeststststkkkkFFkF)(2121212020/1/18理论力学282.串联弹簧受力相等2121kkkkKe等效弹簧刚度stststlllll21210l0stmgFKe1stl1l22st21111kkKe21kmgkmgKmge21111kkKek1k2mgF2020/1/18理论力学29§13.2.4单自由度系统的无阻尼强迫振动一、强迫振动的概念强迫振动：在外加激振力作用下的振动。简谐激振力：H—力幅；—激振力的圆频率；—激振力的初相位。)sin(tHSsin()mxkxHt&&则令,2mHhmkn2sin()nxxht&&无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。二、无阻尼强迫振动微分方程及其解2020/1/18理论力学3021xxx)sin()sin(21tbxtAxn为对应齐次方程的通解为特解)sin(,22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解为：稳态强迫振动3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。三、稳态强迫振动的主要特性：1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。2020/1/18理论力学31(1)=0时kHhbn20(2)时，振幅b随增大而增大；当时，nbn(3)时，振动相位与激振力相位反相，相差。radn22nhbb随增大而减小；0;,20bbbn时时—振幅比或称动力系数—频率比—曲线幅频响应曲线（幅频特