9常用统计分布与抽样分布

补充2：大数定律与中心极限定理•切比雪夫不等式•切比雪夫大数定律•贝努里大数定律•独立同分布的中心极限定理这就是大数定律所阐述的。)(11nXXnX很接近。应该和真值a根据测量的经验：大数定律：大量重复的随机试验所呈现的规律性。当n充分大时，n次测量值的平均值引理：切比雪夫不等式2-DXPXEX（）或21-DXPXEX（）设随机变量X的数学期望EX与方差DX都存在，则对于任意的正数ε，有定理1（契比雪夫大数定律）且具有相同的数学期望及方差，相互独立，设随机变量nXX,1,,2,1,,2kDXEXkk0则对任意的有,1}|1{|lim1nkknXnP.0}|1{|lim1nkknXnP或)(大数定律Chebyshev定理2（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律)发生的次数，重贝努里试验中事件为设AnnA发生的概率，是事件Ap,1}|{|limpnnPAn.0}|{|limpnnPAn或有则：对任意的0例1.设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率为0.7，假定每盏电灯开关彼此独立，估计夜晚同时开着的灯的数目在6800~7200之间的概率。（利用切比谢夫不等式计算）268007200200200210020010.9475200PPEPE解：定理3（独立同分布的中心极限定理）),2,1(,02kDXEXkk，}{lim1xnnXPnkkn).(2122xdtext序列，且独立同分布的随机变量设,,,1nXX即：服从中心极限定理则,}{nX阐明在什么条件下，随机变量和的分布可以近似为正态分布的理论。设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？例21(1.414)10.92070.0793第三章：样本和抽样分布一个统计问题有它明确的研究对象.1.总体研究对象全体称为总体(母体).总体中每个成员称为个体.一、总体和样本总体可以用随机变量及其分布来描述.例如:总体X为某批灯泡的寿命,为推断总体分布及各种特征，从总体中抽取n个个体，所抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数目n称为样本容量.2.样本2(4000,20).XN样本的二重性：抽样之前，样本为随机变量,记X1,X2,…,Xn.抽样之后，样本为一组数值,记x1,x2,…,xn.2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.“简单随机抽样”，要求抽取的样本满足：1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布.说明：我们所考虑的都是简单随机抽样的样本。从而有：X1,X2,…,Xn独立同分布，与总体分布相同。例1设X1,X2,X3是取自正态总体),(2N的样本,写出样本X1的概率密度函数。二、统计量12,,,nXXX12(,,,)nfxxx设为总体X的样本，为一个n元连续函数，若样本函数12(,,,)nfXXX不含任何未知参数，则称12(,,,)nfXXX为统计量.例2设X1,X2,X3是取自正态总体),(2N的样本,指出下列哪个不是统计量.12312222123123111.()2.(2)3313.max(,,)()4.XXXXEXXXXXXX,已知，未知2几个常见统计量样本均值样本方差niiXnX112211()1niiSXXn样本成数11ˆniipXn样本标准差2211()1niiSSXXn三.抽样分布统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做“抽样分布”.1.样本均值的正态分布a.单个正态总体下的样本均值的分布211(,).niiXXNnn设总体X服从正态分布2(,),N12,,,nXXX为来自总体的一个样本，定理1.则X为样本均值，b.两个正态总体下的样本均值的分布22121212(,).XYNnn设总体X服从正态分布2(,),11N112,,,nXXX为分别来自X与Y的样本，X,Y定理2.相互独立，总体Y服从正态分布2(,),22N212,,,nYYY和,XY分别为它们的样本均值，则c.非正态总体下的样本均值的分布211(,).niiXXNnn定理3.设总体X为任意总体,其2,,EXDX12,,,nXXX为来自总体的一个样本，则222,,.EXDXESn且n较大时，近似地有__.n为样本均值，要使X2()0.1EX成立，则样本容量2~(,2)XN12(,,,)nXXX例3设为来自母体X的样本，n402(20,3)N122,,XXX51625117182iiiiPXX((.).280997)例4设总体X服从正态分布，来自总体X，计算.2(30,3)N1220,,XXX1225,,YYY0.4XY((.).0444067)设总体X和Y相互独立,且都服从正态分布，和是分别来自X和Y的样本，求的概率。例5定理4(样本方差的分布)222122()(1)(3)~(1).niiXXnSn设X1,X2,…,Xn是来自正态总体),(2N的样本,2XS和分别为样本均值和样本方差,则有2(2).XSid与2212()(1)~().niiXn2.样本方差的卡方分布定理5(单正态总体样本均值的t分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体),(2N的样本,2XS和分别为样本均值和样本方差,则有~(1)XtnSn3.样本均值的学生氏分布定理6(两总体样本均值差的t分布)22121211221212()~(2)(1)(1)112XYtnnnSnSnnnn，，设),(~),(~2221NYNX且X与Y独立,样本的样本方差,则有2212SS和X1,X2,…,1nX是来自X的样本,是取自Y的样本,Y1,Y2,…,2nYYX和分别是这两个样本的样本均值，是这两个设且X与Y独立,定理7(两总体样本方差比的F分布)221122~(,)~(,)XNYN，，YX和分别是这两个样本的X1,X2,…,1nX是来自X的样本,是取自Y的样本,为这两个样本的样本方差,则有2212SS和Y1,Y2,…,2nY样本均值，21112222~(1,1)22SFnnS4.样本方差比的F分布