有限元与有限差分法基础(超详细版本)

2020/1/181/23有限元法基础及有限差分法基础有限元法有限差分法2020/1/182/162有限元法基础有限元发展过程有限元应用有限元发展方向2020/1/183/162有限元法的基本思想基本思想1）将连续的求解系统离散为一组由节点相互联在一起的单元组合体2）在每个单元内假设近似函数来分片表示系统的求解场函数2020/1/184/162有限元法的基本思想2020/1/185/162有限元法的基本思想2020/1/186/162有限元法的基本思想2020/1/187/162有限元法的基本思想2020/1/188/162有限元法的基本思想离散为单元网格的件仍然要保证是一个连续体，单元与单元之间没有裂缝、不能重叠，所有单元通过单元节点相互关联着变形体无论产生多大的塑性变形，单元与单元之间依然不会产生裂缝、交叉和重叠，关联单元的节点也不能脱开2020/1/189/162有限元法的基本思想不合格单元单元裂缝单元重叠2020/1/1810/162有限元法的基本思想变形前后单元之间都是连续的变形前的网格变形后的网格2020/1/1811/162有限元法的基本思想基本思想通过在单元内假设不同的插值函数，建立不同的单元模型，适应各种各样的变形模式和受力模式XFXF2020/1/1812/162有限元法的基本思想有限元法分类1）位移法：基于最小势能原理或虚功原理2）力法：基于最小余能原理3）混合法：基于修正余能原理2020/1/1813/162有限元法的基本思想基本过程离散化过程约束处理过程单元平衡方程组装过程应变、应力回代过程方程组求解过程2020/1/1814/162离散化过程最小势能原理PVAG弹性体弹性体的势能peipWW为弹性体变形后所具有的内能iW为弹性体所受的外力功eWdVVσεT21VAdVdAGuPuTT2020/1/1815/162离散化过程为弹性体的应变为弹性体的应力u为弹性体的可容位移弹性体处于平衡状态时，其势能应为最小P0TTTVAVdVdAdVGuPuσε02020/1/1816/162离散化过程单元插值关系eNuu单元几何关系单元本构关系LuεεDσeN为单元形函数矩阵L为单元几何微分算子为单元弹性矩阵eD0TTTvavPdvdadvGuPuσε0)()()(TTTTTTvevaeeeedvdadvGNuPNuuBDBu0TTTvvaeedvdadvGNPNuBDBeu单元节点自由度向量2020/1/1817/162离散化过程0)()()(TTTTTTvevaeeeedvdadvGNuPNuuBDBu0TTTvvaeedvdadvGNPNuBDB0TTTvavPdvdadvGuPuσεB称为应变矩阵LNBfkue单元平衡方程或单元刚度方程k称为单元刚度矩阵vedvBDBkTf称为单元载荷向量vadvdaGNPNfTT2020/1/1818/162单元刚度矩阵的特性对称性奇异性主元恒正且对角占优离散化过程2020/1/1819/162线弹性问题几何方程—三维问题Luεwvuxzyzxyzyxzuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzzyyxx000000000三维问题Luε2020/1/1820/162Luεwvuxzyzxyzyxzuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzzyyxx000000000线弹性问题几何方程—二维问题Luεvuxyyxyvxuyvxuxyyyxx00二维问题平面应力和平面应变状态2020/1/1821/162线弹性问题几何方程—二维问题二维问题轴对称状态Luεwurzzrrrwzuzwrururzzzrr0010Luεwvuxzyzxyzyxzuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzzyyxx0000000002020/1/1822/162线弹性问题几何方程—一维问题一维问题LuεuxxuxxLuεvuxyyxyvxuyvxuxyyyxx002020/1/1823/162线弹性问题本构方程—三维问题三维问题εDσe221000000221000000221000000100010001)21)(1(EeDE为弹性模量；为泊松比2020/1/1824/162线弹性问题本构方程—平面应力二维问题平面应力状态00yzxz000yzxzzzzxyzxyzzyyxx000xyyyxxxyyyxxzxyzxyzzyyxxxyzzyyxx2020/1/1825/162线弹性问题本构方程—平面应力zxyzxyzzyyxxezxyzxyzzyyxxD2100010112EeDxyyyxxxyyyxxE2100010112平面应力状态00000xyzzyyxxexyyyxxD2020/1/1826/162线弹性问题本构方程—平面应变二维问题平面应变状态000yzxzzz00yzxzzxyzxyzzyyxx00xyzzyyxxxyzzyyxxzxyzxyzzyyxxxyyyxx2020/1/1827/16200000xyyyxxexyzzyyxxD线弹性问题本构方程—平面应变zxyzxyzzyyxxezxyzxyzzyyxxDxyyyxxxyyyxxE221000101)21)(1(平面应变状态221000101)21)(1(EeD2020/1/1828/162线弹性问题本构方程—轴对称二维问题轴对称状态00yzxz00yzxzzxyzxyzzyyxx00xyzzyyxxxyzzyyxxzxyzxyzzyyxxxyzzyyxx2020/1/1829/162线弹性问题本构方程—轴对称二维问题轴对称状态00zr00zrzrzrzzrrzrzzrr00zrzzrrzrzrzzrrzrzzrr2020/1/1830/162线弹性问题本构方程—轴对称轴对称状态zxyzxyzzyyxxezxyzxyzzyyxxDzrzrzzrrezrzrzzrrDzrzzrrezrzzrr0000D221000010101)21)(1(EeDzrzzrrzrzzrrE221000010101)21)(1(2020/1/1831/162线弹性问题本构方程—一维问题一维问题xxxxEEeD2020/1/1832/162常用单元模型单元模型插值关系一一对应单元类型一维单元、二维单元、三维单元等参单元、超参单元、次参单元2020/1/1833/162常用单元模型一维单元2节点线单元12123123节点线单元梁单元2020/1/1834/162常用单元模型二维单元3节点三角形线性单元1236节点三角形二次单元1235642020/1/1835/162常用单元模型二维单元10节点三角形三次单元101236945784节点四边形双线性单元12342020/1/1836/162常用单元模型二维单元8节点四边形二次单元12节点四边形三次单元123487658712341195610122020/1/1837/162常用单元模型三维单元4节点四面体线性单元10节点四面体二次单元1234110984723652020/1/1838/162常用单元模型三维单元8节点六面体线性单元20节点六面体二次单元8612