有限元分析与应用 第4讲、平面问题有限元法

第四讲、平面问题有限元法弹性力学主要研究实体和板受力与变形,工程中很多这样的构件,弹性力学假设这些物体是连续的、完全弹性的、均匀的、各项同性的、微小变形的和无初应力的在此基础上研究受力物体内部任意点的应力、应变、变形和平衡。对于连续体,如平板,要利用有限元法进行矩阵分析,就必须人为地将连续的板分割成一小块、一小块的单元,而单元与单元的边界上只能有限个点(称为节点)连接,这就称为结构的离散连续体的有限元法求解至少有两点是是至关重要的,即单元分割和位移函数的选择二维单元分割二维或三维弹性连续体离散为有限个单元的集合体，要求单元具有简单而规则的几何形状以便于计算。常用的二维单元有三角形或矩形，同样形状的单元还可有不同的单元结点数，如二维三角单元除3结点外还可有6结点、10结点的三角形单元，因此单元种类繁多。如何选择合适的单元进行计算，涉及到求解问题的类型、对计算精度的要求以及经济性等多方面的因素。平面问题3节点三角形单元基本理论图示一个三角形单元。三个角点按反时针方向的顺序编码为i、j、m。角点坐标分别为的（xi，yi)，(xj,yj)，(xm,ym)。在弹性力学平面问题中，每个角点有两位移分量，因此，三角形单元总共有六个自由度:mmjjiiuuu,,,,,结点i的位移向量可写成：因此，三角形单元的角点位移向量可以写成：iiiummjjiimjieuuu)(e因单元的平面问题,需要确定u(x,y)和v(x,y)两个位移函数,才能确定单元内一点的位移状态,由于单元的节点位移有六个自由度,则位移函数中的广义位移也有六项,每个位移函数取三项,因而取:其中为待定系数,称为广义坐标.将i,j,m的节点坐标值代入位移函数式yxyxyxyxu654321,,61,,Cyxyxyxyxyxyxuuummjjiimmjjiimjimji654321100010001000000100010001(a)其中[C]矩阵包含了两个相同的对角子阵,[C]的逆矩阵等于对角子矩阵逆阵构成的对角阵,所以只要求出子矩阵的逆阵即可,其结果为:倍的三角形单元面积。21112mmjjiiyxyxyxmjimjiijmijmjiimmjijjimiimjmmjuuuxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyx00000000000000000021654321同左上矩阵其中引入ijmjimijjimmijimjmiimjjmimjijmmjixxcyybyxyxaxxcyybyxyxaxxcyybyxyxa,,,,,,(b)代入位移函数(a),得:(c)mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiimmjjiimmjjiicccbbbaaaucucucubububuauaua212121212121654321mmjjiimmmmjjjjiiiimmjjiimmmmjjjjiiiiNNNycxbaycxbaycxbayxuuNuNuNuycxbauycxbauycxbayxu21,21,其中Ni,Nj,Nm称为形函数(位移插值函数),它是坐标x,y的一次函数,ai,bj,ci……,cm,是常数,取决于单元的三个结点坐标,将位移用矩阵表示:其中,[N]称为形函数矩阵.(d)(e)ycxbaNycxbaNycxbaNmmmmjjjjiiii212121emmjjiimjimjiNuuuNNNNNNyxyxu000000,,位移插值函数(形函数)性质jijiyxNijjji10,1、在结点上的插值函数值为：即换句话说,结点的形函数值在自身结点上为1,而在其他结点上为0。其他两个形函数也具有同样的性质。2、在单元中任一点的插值函数之和等于1,即上式表明了插值函数的刚体位移特性,因为若单元发生刚体位移,如x方向有刚体位移Uo,则单元内及结点上处处应有位移Uo,即,Ui=Uj=Um=Uo,0,,,1,mmijjiiiiyxNyxNyxN1mjiNNN由式(c)有因此必然要求。若插值函数不满足此要求,则不能反映单元的刚体位移,用以求解必然得不到正确的结果。3、对于3结点三角形单元,插值函数是线性的,在单元内部及单元的边界上位移也是线性的,如图2,由单元边界上的结点位移值可以唯一地确定该边界上的位移。由于相邻单元公共结点的结点位移是相等的,因此保证了相邻单元在公共边界上的位移是连续的。此外,形函数的积分性质有,为图2的三棱锥体积.1mjiNNN00uuNNNuNuNuNumjimmjjiiAdxdyNi31图2形函数的函数图图33结点三角形单元面积比计算示意图4、如图3所示,形函数为单元内P点与对边围成的面积与三角形面积之比,即ijmPijmijmPmijijmPjmiAANAANAAN,,几何矩阵，应力矩阵用面积比Li(Li=Ni)表示,同理可有Lj、Lm。面积比Li,Lj,Lm可以确定单元内任意一点的位置，P（x,y）可以写成P（Li,Lj,Lm），因此称为面积坐标，对于构造三角形单元的形函数非常方便。Li,Lj,Lm只有两个是独立的，有Li+Lj+Lm=1。（f）对于平面应力问题，应变列阵为：eeexyyxBNLNxyyxuxyyxxyuyxu000000其中[L]为平面问题微分算子矩阵,[B]为几何矩阵或称为应变矩阵,[B]的分块子矩阵是：mmjjiimjimjimjiiiiiiiiiiiiiiiiibcbcbccccbbbBBBBbccbBcyNbxNmjixNyNyNxNNNLB00000021,,002121,21,,0000与单元结点坐标有关,与x,y无关,为常量,所以[B]矩阵为常量阵,当确定后,根据式(f)可得应变是个常值列阵,也就是说在载荷作用下单元中各点具有同一的,所以三结点三角形单元称为常应变单元.采用三角形单元时,在应变梯度较大的部位,单元划分应适当密集.以确保计算精度。单元应力计算公式为：(g)mjimjicccbbb,,,,,e值值及值，xyyxeBiiiiiiiimjimjieezyxbccbcbEBDSSSSBBBDBDSSBDD2121122其中[S]叫应力矩阵,显然[S]是常值矩阵.根据式(g),单元内任一点的应力分量也是相同的.这说明三结点三角形常应变单元在相邻的单元间应力会出现突变而失去平衡.但是随着单元网格的细化,单元间应变突变现象会逐渐缓和,并不妨碍它收敛于正确解答.单元刚度方程dxdydzBDBKTee由于应变矩阵[B]对于三结点三角形单元是常量阵,因此有：mmmjmijmjjjiimijiiTekkkkkkkkktBDBK对于三结点三角形单元,每个结点有两个自由度,三个结点共六个自由度,单元刚度矩阵则为6X6,每个结点在X和Y方向各有一个平衡方程,3个结点共有6个平衡方程.srsrsrsrsrsrsrsrsTrrsTbbvcckbcvcvbkcbvbvckccvbbkmjir,skkkkvEttBDBkBB21,2121,21,,14432143212其中得任一分块矩阵和代入方程左端是通过结点位移表示的单元结点内力,方程右端是单元节点外载yxyxyxFFFFFFuuukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk332211332211666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211yxyxyxFFFFFFkkkkkk332211615141312111得令0,13211uu单元刚度矩阵第一列元素的物理意义是:当u1=1,其他位移为0时,需要在单元各结点位移方向上施加结点力的大小.单元在这些结点力作用下处于平衡.所以有:所以Kij的物理意义是:当单元的第j个结点位移为单位位移,而其他结点位移为零时,需在单元第i个结点位移方向上施加的结点力的大小.单元刚性大,则使结点产生单位位移所需施加的结点力就大,所以单刚元素反映了单元刚性的大小,称为刚度系数.对每一行(列)元素有:00614121513111kkkykkkx向：向：00642642531531jjjjjjjjjjjjkkkkkkkkkkkk得单刚中行(列)元素之和等于零,单刚具有下列特性:(1)对称性(2)奇异性单元处于平衡时,结点力相互不是独立的,满足三个平衡方程(两个方向力平衡,绕一点矩平衡)(3)主元恒正Kij0,要使u1=1,施加在u1方向的结点力必须与位移u1同向.等效结点力有限元分析的平衡方程是建立在节点平衡的基础上的，需要把非节点载荷转换到节点上，成为等效载荷。这里具体给出三结点三角形分别作用有集中力,表面力或体积力时的等效载荷列阵1.集中力设某点c处（图）作用集中力，则i结点的等效结点力为yxPPYmmyYjjyYiiyXmmxXjjxXiixcjmicjmcjmciciiccicciyxcciiyixPLPPLPPLPPLPPLPPLPcjmmjiLycxbayxNyxNmjiPPyxNPP,,,,,,2221,c,,,,有构成的三角形面积，则为由结点其中，处的值点为形函数在集中力作用2.表面力的等效载荷列阵dsqNPrii假设单元e只有ij边上得作用表面力{p}（图），现在来求其等效结点力。设ij边的长度为L，边上任一点c离开结点i得距离为slsyxNlslyxNcimccjcjmcci,,3.体积力的