江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题Word版含答案

常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题2014年1月参考公式：样本数据1x，2x，…，nx的方差2211()niisxxn，其中x=11niixn．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．设集合21AxxxR，，20Bxx≤≤，则AB=▲．2．若1i1iimn（mnR，，i为虚数单位），则mn的值为▲．3．已知双曲线2221(0)4xyaa的一条渐近线方程为20xy，则a的值为▲．4．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24名，则在高二年级学生中应抽取的人数为▲．5．某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/gmm）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为▲．6．函数222sin3cos4yxx的最小正周期为▲．7．已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为▲．8．已知实数x，y满足约束条件333xyyx≥≤≤，，，则225zxy的最大值为▲．9．若曲线1C：43236yxaxx与曲线2C：exy在1x处的切线互相垂直，则实数a的值为▲．10．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为▲．11．已知,66ppq，等比数列na中，11a，343tan39aq，若数列na的前2014项的和为0，则q的值为▲．12．已知函数f(x)＝201,02(1),xxxx≥，，若((2))()fffk，则实数k的取值范围为▲．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan7tanAB，223abc，则c▲．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：2216xy，点(1,2)P，M，N为圆O上不同的两点，且满足0PMPN．若PQPMPN，则PQ的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量(,)mac，(cos,cos)nCA．（1）若mn∥，3ca，求角A；（2）若3sinmnbB，4cos5A，求cosC的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，AB⊥BC，E，F分别是1AB，1AC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面11AABB；（3）若1222AAABBCa，求三棱锥FABC的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}na的公差为d，前n项和为nS，已知35Sa，525S．（1）求数列{}na的通项公式；（2）若p，q为互不相等的正整数，且等差数列{}nb满足pabp，qabq，求数列{}nb的前n项和nT．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆ABMOPQlxy（第18题）FBCEA1A1B1C（第16题）E:22221(0)xyabab的右准线为直线l，动直线ykxm(00)km，交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点Q的纵坐标为1e（其中e为椭圆的离心率），且5OQOM．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()tx（件）与销售价格x（元/件）（xN）之间满足如下关系：①当3460x≤≤时，2()(5)10050txax；②当6070x≤≤时，()1007600txx．设该店月利润为M（元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求M关于销售价格x的函数关系式；（2）求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分）已知函数()lnafxxxx，aR．（1）当0a时，求函数()fx的极大值；（2）求函数()fx的单调区间；（3）当1a时，设函数()(1)11agxfxxx，若实数b满足：ba且()1bggab，()22abgbg，求证：45b．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题）2014年1月21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD．过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点E．求证：∠DAE=∠BAC.B．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0laxy在矩阵A0112对应的变换作用下得到直线l，若直线l过点（1,1），求实数a的值．C．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点(23,)6Pp，直线:cos()224lprq，求点P到直线l的距离．（第21-A题）AEOCDBD．选修4—5：不等式选讲已知1x≥，1y≥，求证：22221xxyxyyxy≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，三棱锥P－ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，连结CD．（1）若2PAa，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；（2）若二面角A－PB－C的余弦值的大小为55，求PA．23．（本小题满分10分）设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．（1）若M=1234{,,,}aaaa，直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数；（2）若M=123{,,,,}naaaa，求所有不同的有序集合对(A,B)的个数．ABCDOP（第22题）常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．0,12．13．14．155．31.6（写成1585也对）6．p7．7108．129．13e10．（1）（2）11．9p12．12(log9,4)13．414．335二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵mn∥，∴coscosaAcC．由正弦定理，得sincossincosAACC．化简，得sin2sin2AC．………………………………………………2分∵,(0,)ACp，∴22AC或22ACp，从而AC（舍）或2ACp．∴2Bp．………………………………4分在Rt△ABC中，3tan3aAc，6Ap．…………………………………6分（2）∵3cosmnbB，∴coscos3sinaCcAbB．由正弦定理，得2sincossincos3sinACCAB，从而2sin()3sinACB．∵ABCp，∴sin()sinACB．从而1sin3B．……………8分∵4cos05A，(0,)Ap，∴(0,)2Ap，3sin5A．……………………10分∵sinsinAB，∴ab，从而AB，B为锐角，22cos3B．………12分∴coscos()coscossinsinCABABAB=42231382535315．…………………………………14分16．证明：（1）连结1AC．∵直三棱柱111ABCABC中，11AACC是矩形，∴点F在1AC上，且为1AC的中点．在△1ABC中，∵E，F分别是1AB，1AC的中点，∴EF∥BC．……………2分又∵BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF∥平面ABC．………………4分（2）∵直三棱柱111ABCABC中，1BB平面ABC，∴1BBBC．∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，1BBEF．………………………………6分∵1BBABB，∴EF⊥平面11ABBA．………………………………8分∵EF平面AEF，∴平面AEF⊥平面11ABBA．………………………………10分（3）11111223FABCAABCABCVVSAA………………………………12分=3211122326aaa．………………………………14分17．解：（1）由已知，得11133451025adadad，，解得11,2.ad…………………4分∴21nan．……………………………………………………………6分（2）p，q为正整数，由（1）得21pap，21qaq．…………………8分进一步由已知，得21pbp，21qbq．………………………………………10分∵{}nb是等差数列，pq，∴{}nb的公差1222qpdqp．………………12分由211(22)bbbpdp，得11b．∴21(1)324nnnnnTnbd．…………………………………………14分18．解：当A，B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则(,0)Aa，(0,)Bb，(,)22abM．∵21(,)aQce，∴由O，M，Q三点共线，得21beaac，化简，得1b．………2分∵5OQOM，∴252aca，化简，得25ac．由222125abcbac，，，解得225,4.ac…………………………………………4分（1）椭圆E的标准方程为2215xy．…………………………………………6分（2）把(0,0)ykxmkm，代入2215xy，得222(51)10550kxmkxm．……………………………………………8分当△0，22510km时，2551Mmkxk，251Mmyk，从而点225(,)5151mkmMkk．……………………………………………10分所以直线OM的方程15yxk．由221515yxkxy，，得2222551Pkxk．……………………………………………12分∵OP是OM，OQ的等比中项，∴2OPOMOQ，从而22252(51)PMQmkxxxk．……………………………………………14分由2222525512(51)kmkkk，得2mk，从而2mk，满足△0．……………15分∴mk为常数2．………………………………………………………………16分19．解：（1）当60x时，(60)1600t，代入2()(5)10050txax，解得2a．………………………………………………………………2分∴2(2201000