小学数学教学论第八章-图形与几何的教学-文档资料

第八章图形与几何的教学第一节“图形与几何”教学的意义、内容和要求一、“图形与几何”教学的意义（一）有助于更好地认识人类的生存空间对于学生来说，图形直观以及图形分析是他们理解奇妙的自然世界和社会现象、解决学习和生活中各种问题的绝妙工具。随着现代技术的发展，如计算机制图和成像技术的发展，几何方法更是运用到人类生活和社会发展的各个角落。1（二）有助于发展学生的空间观念发展学生的空间观念是《全日制义务教育数学课程标准》中的一个重要目标，也是“图形与几何”教学的核心目标之一。在三维图形与二维图形的转化过程中学生要经历对图形的想象、重组和构建的过程，在将数学或生活语言所描述的情景绘制成实际情景的过程中，学生的空间观念将得到发展。2（三）有助于培养良好的思维习惯3二、“图形与几何”的教学内容和编排（一）图形与几何历史简介几何学起源于埃及尼罗河泛滥后土地重新测量的需要；4古埃及地理位置埃及是古代文明的发祥地之一。“埃及是尼罗河赐予的礼物”，尼罗河由南向北纵贯埃及，在红海、利比亚沙漠和撒哈拉沙漠之间滋润出一条狭长的绿洲，在这里产生了古埃及文明。5几何这个词最早来自于希腊语“，由“（土地）和“（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。英语「geometry」几何「geo」代表的是土地，「metrein」指的是測量。6中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。7利瑪竇利瑪竇(MatteoRicci;15521610)•意大利傳教士•1606年與徐光啟合作翻譯《幾何原本》前6卷。8徐光啟徐光启（1562?1633）•嘉靖41年?崇祯6年•字子先，号玄扈，上海徐家汇人。•1606年与利玛窦合作翻译《几何原本》前6卷。•首先引进「几何」一词。9在人们获得了直线、圆等形的概念以后，而进一步利用笔直的木棍作出直线，利用树杈作出圆形的时候，他们已经基本上掌握了这些图形的性质。在西安半坡遗址中，发现圆、正方形的房屋地基（图8-），并在出土的陶器碎片上发现了大量的几何图形（图8-）。1011古代埃及的数学吉萨金字塔(公元前2600年)（刚果，1978）1213（2）中国数学的起源与早期发展汉像砖伏羲女娲执规矩图14女娲伏羲执规矩图黄帝时代隶首作数15中国考古文物上的几何图案16测量几何量必须有一个单位，即“量具”。最早的量具是很粗糙的，那时候最简单、最方便的量具莫过于人体的某一部分。我国古代常用“步”作为长度单位。在西方，也有类似的例子。例如，英文中呎的原意足（foot），码（yard）则来源于腰围（gyrgand）之长等。17几何符号的出现简化了复杂的数学理论，使得数学理论的应用成为可能。18第一学段的主要内容是：认识简单几何体和平面图形，感受平移、旋转、对称现象，学习描述物体相对位置的一些方法，进行简单的测量活动，建立初步的空间观念。第二学段的主要内容是：了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置的方法，发展空间观念。（二）小学“图形与几何”教学内容19事实上，小学“图形与几何”的教学内容经历了从偏重求积计算发展到增加图形的概念和性质、从偏重知识传授转变到重视空间观念的培养的变化过程。20（三）“图形与几何”的教学内容的编排特点“图形与几何”的教学内容不是严格按照知识的逻辑顺序呈现，而以图形的认识为主线，根据儿童的生理和心理特征，按图形内容的逻辑关系来构建内容体系。采用“问题情境—建立模型—解释、应用于拓展、反思”的基本模式展现内容，而不是“公理定义—定理性质—例题—习题”的结构形式。211.“图形的认识”教学内容的编排特点“图形的认识”的编排顺序是：感知立体图形—辨认平面图形—角和直角—长方形、正方形的认识—锐角和钝角—认识线段、射线和直线—角—相交和平行一认识平行四边形和梯形—三角形—长方体和正方体—圆—圆柱和圆锥。22一年级设置了认识三维立体图形（如长方体、正方体、圆柱体、球体）的教学内容；二至四年级编排了认识二维平面图形（角、线段、直线、射线、长方形、正方形、三角形、四边形）的教学内容；而五、六年级的教学内容既包括长方体、正方体、圆柱、圆锥等三维几何体的特征性质也包括二维平面图形圆的认识。23教学内容的呈现大都采用直观几何、实验几何的方式，设置的情境贴近学生的现实生活和日常经验，使学生获得对简单的几何体和平面图形的直观经验，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系。242.“测量”教学内容编排的特点“测量”的教学内容不是单纯的图形面积和体积的计算，而是强调对量的实际意义的理解，让学生在参与测量的过程中，自己选择测量的工具和测量方法，从而进一步掌握有关测量的知识和技能。253.“图形的运动”教学内容编排的特点“图形的运动”教学内容突出了与生活的联系，强调活动经验的积累。4.“图形与位置”教学内容编排的特点“图形与位置”教学内容的编排采用了辨认方向——确定位置——描述路线的顺序。26三、“图形与几何”的教学要求（一）关注“图形与几何”知识的形成过程一般地说，在“图形与几何”教学过程中，教师针对图形、测量、位置、变换等原发现过程进行教学加工，设计一个学生可接受、可操作、可实现、可理解的的数学情境，引导学生去揭示或感受知识发生的前提或原因，使其认识和了解数学的概念、公式、例题以及应用产生的背景和发展的过程。271.创设问题情景，展现知识的发现过程创设问题情景，就是要为学生提供恰当的实际问题和知识背景，提出符合学生认知水平的思考问题，经过学生观察、实验、比较，作出猜想，为“图形与几何”知识的形成奠定感性基础。以“角”这一概念的教学为例，首先设置摸纸片的活动，“布袋里有五个硬纸片（图8-），你能从布袋里把某个硬纸片摸出来吗？”通过摸纸片，让学生初步感受角的形状特征。28角——（视频）292.增加实验操作，再现结论的探究过程如一年级小学生在直观认识正方形时，通过自己动手对折正方形纸片，能够认识到正方形“四边相等”这一特征。又如，学生在学习三角形内角和时，通过撕角、拼角把三角形纸片上的三个内角拼成一个平角，证明了三角形的内角和是180°。303.精心设计问题，揭示解决问题的思维过程数学教学的核心是培养学生解决问题的能力，通过问题的解决来启迪和发展学生的思维，在完成“图形与几何”知识学习的同时，培养学生的思维能力。三角形的面积计算（视频）31（二）“图形与几何”的实际背景1.生活实际背景“图形与几何”教学应该从学生的生活经验和己有的知识出发，充分利用现实生活中的实际背景去理解知识；对称（李彬课件）322.生产实践背景结合生产实践和生活实际去教学，探索知识发生、发展的背景，使学生灵活掌握和应用所学的知识，培养他们的创新能力。如计算做一个油箱用多少铁皮应求六个面的面积，计算粉刷游泳池需要求四周和底面的五个面的面积，333.几何发展史背景例如：教学“圆的认识”时介绍一下圆周率的演变发展的过程，特别介绍圆周率的计算过程。34（三）重视直观感性材料的作用1.实物直观2.模型直观3.图像直观35四、小学生几何思维的发展在20世纪50年代末，范希尔夫妇（PierrevanHiele&DinavanHiele）在格式塔心理学和皮亚杰发生认识论的基础上提出了几何思维水平的理论。从整体上把几何思维分为五个层次，即视角辨认层次、分析层次或描述层次、非形式的演绎层次、形式演绎层次以及严密性层次；并提出了相应的教学策略。3637为了更准确地反映小学生几何思维的发展，应在范·希尔夫妇所说的五个水平上再增加一个新的水平——水平0(前认知)。38介绍小学生几何思维水平的发展阶段。1.水平0：前认知学生能通过整体轮廓辨认图形，但因感觉活动的缺乏，他们可能只注意形状直观特征的某些部分，不能认识到其中的组成部分。392.水平1：视觉对小学生而言，他们能按照外观识别图形，在心理上把这些图形表示为直观图形，例如学生可能会因为“三角形像三明治，长方形像门”区分三角形和长方形。然而，学生不关心图形的几何性质和本质特征，因此不能正确区分正方形和菱形，而认为两种图形是“相等”的。403.水平2：分析学生开始分析图形的组成要素，能借助观察、测量、画图和建模等手段经验地建立图形的性质特征，并依据性质特征识别图形，但不能解释图形的某些性质之间的关联，也不能识别不同类图形之间的关系。例如，无论三角形在形状上有多大的差异，学生都通过三条边和三个角的特征性质，准确地识别各种形态的三角形，但是没有构建边和角的联系，即不能理解三角形内角越大，对应边越长的性质。414.水平3：非形式化演绎学生能形成抽象的定义，开始注意图形与图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，进一步探索图形的内在属性和其包含关系，因而能分层次地将图形进行分类，并使用公式与定义对这些类别进行非形式化的论证。42第二节图形与几何概念与技能教学一、图形的认识（一）空间观念的理解1.空间观念的基本成分《全日制义务教育数学课程标准》对空间观念培养作了如下描述：“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等”。43在学生数学学习中，空间观念主要包含如下基本成分。（1）图形的识别与理解能力（2）图形的分解与组合能力（3）图形的建构与探索能力（4）对图形的运动与变换的欣赏（5）利用几何直观解决问题能力44密铺的例子452.小学生空间观念发展的心理特点（1）直观性小学生的认知水平基本上处于“具体运算阶段”，认识几何图形主要通过动手操作（做一做、拼一拼、搭一搭、画一画等活动），尤其是低年级学生，对图形的感知往往偏重于对象的直观性较强的属性特征，对那些不太明显的属性特征和比较抽象的几何概念的理解比较困难。46（2）描述性小学生往往倾向于用日常用语来描述几何概念，对于精确的、严格的几何概念，往往很难理解。但需要注意，直观具体的日常语言描述几何概念具有两面性。47一方面，当日常用语与科学概念一致时，有助于学生逐步建立空间观念，如对“三角形”的描述，会更多地借用日常经验中的“三角”，或对“正方形”描述为“方块”，并会用这种描述来作为图形的识别图式。另一方面，当日常用语与科学概念不一致时，会影响准确科学的几何概念的形成，从而干扰正确的空间观念的建立。如学生容易受到日常用语“角是尖的”这一概念的干扰，对于平角和周角的认识产生困难，并且学生在实物中往往指着顶点说”角”，影响了“从一点引出两条射线所组成的图形”这一角的概念的形成。48（3）渐进性小学生形成几何概念、理解图形性质以及维数的认识，都需要一个逐步发展的渐进过程。首先，小学生对几何概念的理解不是一步到位的，而是一个渐进的过程，这个过程与小学生空间思维水平发展的阶段性相关。其次，小学生通过观察、操作、实验能够发现几何对象的性质特征，但是对于不同对象的性质特征关系的理解往往比较困难。再次，小学生维数的认识也是渐进的过程，从二维空间发展到三维空间是相当困难的。49（4）标准性虽然标准图形有利于小学生发现图形的性质特征，但是标准图形的呆板、单一，会在学生头脑中形成思维定势，忽视了事物的变化发展，混淆了几何图形的本质特征和非本质特征。因此，在教学中，标准图形和变式图形要结合运用，使用标准图形，唤起学生生活中已有的经验，促进学生对图形本质特征的认识。503.小学生空间观念的培养首先，学生经验是发展空间观念的基础。教学“长方体和正方体的认识”——切土豆其次，空间观念在发展的过程中逐步形成。再次，空间观念的形成需要自主探索与合作交流的氛围。51（二）一般几何图形的认识1.影响小学生认识几何图形的因素（1）原有经验（2）图形的综合性与线性的文字表