二次根式章节知识点题型及巩固习题

1二次根式知识点一：二次根式的概念定义：一般地，形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式。”“称为二次根号。注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、x1、x（x0）、0、42、-2、yx1、yx（x≥0，y≥0）．知识点二：取值范围1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。例2．当x是多少时，1x3在实数范围内有意义？例3．当x是多少时，32x+1x1在实数范围内有意义？知识点三：二次根式a（a≥0）的非负性a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0））是一个非负数，即a≥（a≥0）。注：因为二次根式a（a≥0）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即a≥（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。例4(1)已知y=2xx2+5，求yx的值．(2)若1b1a=0，求a2004+b2004的值2知识点四：二次根式2a的性质2a=a（a≥0）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式2a=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。例1计算25223227例2在实数范围内分解下列因式:（1）3x2（2）4x4知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。例1化简（1）9（2）2(4)（3）25（4）2(3)例2填空：当a≥0时，2a=_____；当a0时，2a=_______，并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a=a，则a可以是什么数？（2）若2a=-a，则a是什么数？（3）2aa，则a是什么数？例3当x2，化简22x212x．知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示3一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的乘除1、乘法a·b＝ab（a≥0，b≥0）反过来：ab=a·b（a≥0，b≥0）2、除法baba（a≥0，b0）反过来，baba（a≥0，b0）例1．计算（1）45×7（2）13×9（3）9×27（4）12×6例2化简（1）916（2）1681（3）229xy（4）54例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49（2）12425×25=4×1225×25=41225×25=412=83例4．计算：（1）123（2）3128（3）11416（4）648例5．化简：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（4）25169xy4例6．已知9966xxxx，且x为偶数，求（1+x）22541xxx的值．知识点八：最简二次根式与同类二次根式1、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式2、化简最简二次根式的方法：(1)把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；(2)化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；(3)将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）3、同类二次根式：被开方数（因式）相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如8与18例1．把下列二次根式化为最简二次根式(1)5312;(2)2442xyxy;(3)238xy知识点九：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。例1．计算（1）8+18（2）16x+64x（3）348-913+312（4）（48+20）+（12-5）例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值．5【基础训练】1．化简：（1）72____；（2）222524_____；（3）61218____；（4）3275(0,0)xyxy____；（5）_______420。2.(16，安徽)化简24=_________。3.（16，武汉）计算4的结果是（）Ａ.2Ｂ．±2Ｃ．-2Ｄ．44.化简：（1）（16，泰安）9的结果是；（2）123的结果是；（3）(16，宁夏)825=；（4）（16，黄冈）5x-2x=______；（5）（16，宜昌）3＋（5－3）=_________；（6）；（7）(16，荆门)＝________；（8）．5．（16，重庆）计算28的结果是（）A、6B、6C、2D、26.（16，遵义）若230ab，则2ab．7.(16，聊城)下列计算正确的是（）A．B．C．D．8.下列运算正确的是（）A、4.06.1B、5.15.12C、39D、32949．（16，中山）已知等边三角形ABC的边长为33，则ΔABC的周长是____________；10.比较大小：３10。11．（16，嘉兴）使2x有意义的x的取值范围是．12.(16，常州)若式子5x在实数范围内有意义,则x的取值范围是（）A.x-5B.x-5C.x≠-5D.x≥-5613.(16，黑龙江)函数中，自变量的取值范围是．14.下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是（）A、2－xB、x+2C、x－2D、1x－215.（16，荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A.21aB.12C.8D.2716．（16，中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A．10B．8C．6D．217．（16，常德）下列各式中与是同类二次根式的是（）A．2B．C．D．18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A．2112与B．2718与C．313与D．5445与19.(16，乐山)已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是（）A、5B、6C、7D、820．（16，大连）若baybax,，则xy的值为（）A．a2B．b2C．baD．ba21.计算：（1）（2）（3）（16，上海）．（4）（16，庆阳）22.先将22xx÷322xxx化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。7【提高训练】一、热身运动1、若xxxx3232成立，则x满足_______________。2、使等式1111xxxx成立的条件是。3、已知233xx＝－x3x，则（）（A）x≤0（B）x≤－3（C）x≥－3（D）－3≤x≤04、若x＜y＜0，则222yxyx＋222yxyx＝（）（A）2x（B）2y（C）－2x（D）－2y5、若0＜x＜1，则4)1(2xx－4)1(2xx等（）（A）x2（B）－x2（C）－2x（D）2x6、化简aa3(a＜0)得（）（A）a（B）－a（C）－a（D）a7、a21aa化简二次根式号后的结果是_________．8、已知xy0，化简二次根式2yxx的正确结果为_________．9、已知a、b、c为正数，d为负数，化简2222dcabdcab＝_____10、若最简根式343abab与根式23226abbb是同类二次根式，求a、b的值．11、若最简二次根式22323m与212410nm是同类二次根式，求m、n的值．12、若2440xyyy，求xy的值。8二、冲刺阶段1、化简32nnmm·（-331nmm）÷32nm（m0，n0）2、化简-3222332mna÷（232mna）×2amn（a0）3、化简2211aaaa2ababababab、xyyxyxxyxyyxyxxy2aabbabaabaabbabbab4、当x=121时，求2211xxxxxx+2211xxxxxx的值．（结果用最简二次根式表示）95、已知x＝2323，y＝2323，求32234232yxyxyxxyx的值．（先化简xy，再化简分式，求值）6、当x＝1－2时，求2222axxaxx＋222222axxxaxx＋221ax的值．7、若x，y为实数，且y＝x41＋14x＋21．求xyyx2－xyyx2的值．8、若│1995-a│+2000a=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）