导数及其应用最全教案(含答案)

导数及其应用一、知识点梳理1.导数：当x趋近于零时，xxfxxf)()(00趋近于常数c。可用符号“”记作：当0x时，xxfxxf)()(00c或记作cxxfxxfx)()(lim000，符号“”读作“趋近于”。函数在0x的瞬时变化率，通常称作)(xf在0xx处的导数，并记作)(0xf。即xxfxxfxfx)()(lim)(0000'2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。即若点),(00yxP为曲线上一点，则过点),(00yxP的切线的斜率xxfxxfxfkx)()(lim)(0000'切由于函数)(xfy在0xx处的导数，表示曲线在点))(,(00xfxP处切线的斜率，因此，曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(xfy在点0xx处的导数，即曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0xxxfyy3.导数的四则运算法则：1）)()())()((xgxfxgxf2）)()()()(])()([xgxfxgxfxgxf3）)()()()()()()(2xgxgxfxfxgxgxf4.几种常见函数的导数：(1))(0为常数CC(2))(1Qnnxxnn）（(3)xxcos)(sin(4)xxsin)(cos(5)xx1)(ln(6)exxaalog1)(log(7)xxee)((8)aaaxxln)(5.函数的单调性：在某个区间),(ba内，如果0)('xf，那么函数)(xfy在这个区间内单调递增；如果0)('xf，那么函数)(xfy在这个区间内单调递减。6.函数的极值求函数)(xf极值的步骤:①求导数)(xf。②求方程0)(/xf的根.③列表；④下结论。7.函数的最大值和最小值（1）设)(xfy是定义在区间ba,上的函数，)(xfy在),(ba内有导数，求函数)(xfy在ba,上的最大值与最小值，可分两步进行.①求)(xfy在),(ba内的极值.②将)(xfy在各极值点的极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数)(xf在ba,上单调增加，则)(af为函数的最小值，)(bf为函数的最大值；若函数)(xf在ba,上单调递减，则)(af为函数的最大值，)(bf为函数的最小值.注意：（1）在求函数的极值时，应注意：使导函数)(xf取值为0的点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数3)(xxf的导数23)(xxf，在点0x处有0)0(f，即点0x是3)(xxf的驻点，但从)(xf在,上为增函数可知，点0x不是)(xf的极值点.(2)在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数为0，那么立即可以断定在这个点处的函数值就是最大（小）值。（3）极大（小）值与最大（小）值的区别与联系二、典型例题解析：例1（1）若函数()yfx在区间(,)ab内可导，且0(,)xab则000()()limhfxhfxhh的值为（）A．'0()fxB．'02()fxC．'02()fxD．0（2）已知曲线mxy331的一条切线方程是44yx，则m的值为.A43.B283.C43或283.D23或133（3）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A．B．C．D．（4）已知函数2)12()(23xaaxxf，若1x是)(xfy的一个极值点，则a值为（）A．2B.-2C.72D.4例2．32()32fxxx在区间1,1上的最大值是2。解：当－1x0时，()fx0，当0x1时，()fx0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数3()fxx。例3：设函数f(x)=3223(1)1,1.xaxa其中（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。解：由已知得'()6(1)fxxxa，令'()0fx，解得120,1xxa。（Ⅰ）当1a时，'2()6fxx，()fx在(,)上单调递增；当1a时，'()61fxxxa，'(),()fxfx随x的变化情况如下表：x(,0)0(0,1)a1a(1,)a'()fx+00()fx极大值极小值从上表可知，函数()fx在(,0)上单调递增；在(0,1)a上单调递减；在(1,)a上单调递增。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a时，函数()fx没有极值；当1a时，函数()fx在0x处取得极大值，在1xa处取得极小值31(1)a。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。例4：已知函数321()13fxxaxax（1）若在R上单调，求a的取值范围。（2）问是否存在a值，使得()fx在1,1上单调递减，若存在，请求a的取值范围。解：先求导得2()2fxxaxa（1）()fx在R上单调且()fx是开口向上的二次函数()0fx恒成立，即02440aa，解得01a（2）要使得()fx在1,1上单调递减且()fx是开口向上的二次函数()0fx对1,1x恒成立，即11201120faafaa解得a不存在a值，使得()fx在1,1上单调递减。例5：已知直线1l为曲线22xxy在点(0,2)处的切线，2l为该曲线的另一条切线，且21ll（Ⅰ）求直线2l的方程；（Ⅱ）求由直线1l，2l和x轴所围成的三角形的面积解：设直线1l的斜率为1k，直线2l的斜率为2k，'21yx，由题意得10'|1xky,得直线1l的方程为2yx122111llkk211,1xx令得,212,2xyxxy将代入得2l与该曲线的切点坐标为(1,2),A由直线方程的点斜式得直线2l的方程为：3yx（Ⅱ）由直线1l的方程为2yx,令0=2yx得:由直线2l的方程为3yx，令0=3yx得:由23yxyx得：52y设由直线1l，2l和x轴所围成的三角形的面积为S，则：1525[2(3)]224s三、练习：1．关于函数762)(23xxxf，下列说法不正确的是（4）。（1）在区间（，0）内，)(xf为增函数（2）在区间（0，2）内，)(xf为减函数（3）在区间（2，）内，)(xf为增函数（4）在区间（，0）),2(内，)(xf为增函数2．对任意x，有34)('xxf，(1)1f，则此函数为2)(4xxf。3．函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是5,-15。4．下列函数中，0x是极值点的函数是（2）。（1）3yx（2）2cosyx（3）tanyxx（4）1yx5．下列说法正确的是（4）。（1）函数的极大值就是函数的最大值（2）函数的极小值就是函数的最小值（3）函数的最值一定是极值（4）在闭区间上的连续函数一定存在最值6．函数32()35fxxx的单调减区间是[0，2]。7．已知函数cbxxaxxf44ln)((x0)在x=1处取得极值c3，其中,,abc为常数。（1）试确定,ab的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间。