2015年高考福建文科数学试题及答案(word解析版)

12015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年福建，文1，5分】若1i23iiab（,abR，i是虚数单位），则,ab的值分别等于（）（A）3,-2（B）3,2（C）3,-3（D）-1,4【答案】A【解析】由已知得32iiab，故3a，2b，故选A．（2）【2015年福建，文2，5分】若集合22Mxx，0,1,2N，则MN等于（）（A）0（B）1（C）0,1,2（D）0,1【答案】D【解析】由交集定义得0,1MN，故选D．（3）【2015年福建，文3，5分】下列函数为奇函数的是（）（A）yx（B）xye（C）cosyx（D）xxyee【答案】D【解析】函数yx和xye是非奇非偶函数；cosyx是偶函数；xxyee是奇函数，故选D．（4）【2015年福建，文4，5分】阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x的值为1，则输出y的值为（）（A）2（B）7（C）8（D）128【答案】C【解析】该程序表示分段函数2292xxyxx，则1918f，故选C．（5）【2015年福建，文5，5分】若直线10,0xyabab过点1,1，则ab的最小值等于（）（A）2（B）3（C）4（D）5【答案】C【解析】由已知得111ab，则112baabababab，因此0,0ab，所以2babaabab，故4ab，当baab，即2ab时取等号，故选C．（6）【2015年福建，文6，5分】若5sin13，且为第四象限角，则tan的值等于（）（A）125（B）125（C）512（D）512【答案】D【解析】由5sin13，且为第四象限角，则212cos1sin13，则sin5tancos12，故选D．（7）【2015年福建，文7，5分】设1,2a，1,1b，cakb．若bc，则实数k的值等于（）（A）32（B）53（C）53（D）32【答案】A【解析】由已知得1,21,11,2ckkk，因为bc，则0bc，因此120kk，解得32k，故选A．2（8）【2015年福建，文8，5分】如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为1,0．且点C与点D在函数101102xxfxxx的图像上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）（A）16（B）14（C）38（D）12【答案】B【解析】由已知得1,0B，1,2C，2,2D，0,1F，则矩形ABCD面积为326，阴影部分面积为133122，故该点取自阴影部分的概率等于31264故选B．（9）【2015年福建，文9，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）（A）822（B）1122（C）1422（D）15【答案】C【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1,2，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为12332，侧面积为则其表面积为22422822，所以该几何体的表面积为1122，故选C．（10）【2015年福建，文10，5分】变量,xy满足约束条件02200xyxymxy，若2zxy的最大值为2，则实数m等于（）（A）-2（B）-1（C）1（D）2【答案】C【解析】将目标函数变形为2yxz，当z取最大值，则直线纵截距最小，故当0m时，不满足题意；当0m时，画出可行域，如图所示，其中22,2121mBmm．显然0,0O不是最优解，故只能22,2121mBmm是最优解，代入目标函数得4222121mmm，解得1m，故选C．（11）【2015年福建，文11，5分】已知椭圆2222:10xyEabab的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线:340lxy交椭圆E于,AB两点．若4AFBF，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（）（A）30,2（B）30,4（C）3,12（D）3,14【答案】A【解析】设左焦点为F，连接1AF，1BF，则四边形1BFAF是平行四边形，故1AFBF，所以142AFAFa，所以2a，设0,Mb，则4455b，故1b，从而221ac，203c，03c，所以椭圆E的离心率的取值范围是30,2，故选A．（12）【2015年福建，文12，5分】“对任意0,2x，sincoskxxx”是“1k”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】Bx–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC3【解析】当1k，sincossin22kkxxx，构造函数sin22kfxxx，则cos210fxkx．故fx在0,2x单调递增，故022fxf，则sincoskxxx；当1k时，不等式sincoskxxx等价于1sin22xx，构造函数1sin22gxxx，则cos210gxx，故gx在0,2x递增，故022gxg，则sincosxxx．综上所述，“对任意0,2x，sincoskxxx”是“1k”的必要不充分条件，故选B．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．（13）【2015年福建，文13，5分】某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为．【答案】25【解析】由题意得抽样比例为45190020，故应抽取的男生人数为15002520．（14）【2015年福建，文14，5分】若ABC中，3AB，45A，75C，则BC等于．【答案】2【解析】由题意得18060BAC．由正弦定理得sinsinACBCBA，则sinsinACABCB，所以232232BC．（15）【2015年福建，文15，5分】若函数2xafxaR满足11fxfx，且fx在,m单调递增，则实数m的最小值等于．【答案】1【解析】由11fxfx得函数fx关于1x对称，故1a，则12xfx，由复合函数单调性得fx在1,递增，故1m，所以实数m的最小值等于1．（16）【2015年福建，文16，5分】若,ab是函数20,0fxxpxqpq的两个不同的零点，且,,2ab这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于．【答案】9【解析】由韦达定理得abp，abq，则0,0ab，当,,2ab适当排序后成等比数列时，2必为等比中项，故4abq，4ba，当适当排序后成等差数列时，2必不是等差中项，当a是等差中项时，422aa，解得1a，4b；当4a是等差中项时，82aa，解得4a，1b，综上所述，5abp，所以9pq．三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年福建，文17，12分】等差数列na中，24a，4715aa．（1）求数列na的通项公式；（2）设22nanbn，求12310bbbb的值．解：（1）设等差数列na的公差为d．由已知得11143615adadad，解得131ad．所以112naandn．4（2）由（1）可得2nnbn．所以2310231012310212223210222212310bbbb1011112121101022552532101122．（18）【2015年福建，文18，12分】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组频数14,5225,6836,7747,83（1）现从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在7,8的概率；（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．解：解法一：（1）融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A，2A，3A；融合指数在4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B，2B．从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：12,AA，13,AA，23,AA，11,AB，12,AB，21,AB，22,AB，31,AB，32,AB，12,BB，共10个．其中，至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是：12,AA，13,AA，23,AA，11,AB，12,AB，21,AB，22,AB，31,AB，32,AB，共9个．所以所求的概率910P．（2）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.55.56.57.56.0520202020．解法二：（1）融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A，2A，3A；融合指数在4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B，2B．从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：12,AA，13,AA，23,AA，11,AB，12,AB，21,AB，22,AB，31,AB，32,AB，12,BB，共10个．其中，没有1家融合指数在7,8内的基本事件是：12,BB，共1个．所以所求的概率1911010P．（2）同解法一．（19）【2015年福建，文19，12分】已知点F为抛物线2:20Eypxp的焦点，点2,Am在抛物线E上，且3AF．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点1,0G，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．解：解法一：（1）由抛物线的定义得22pAF．因为3AF，即232p，解得2p，所以抛物线E的方程为24yx．（2）因为点2,Am在抛物线2:2Eypx上，所以22m，由抛物线的对称性，不妨设2,22A．由2,22A，1,0F可得直线AF的方程为221yx．由22214yxyx，得22520xx，5解得2x或12x，从而1,22B．又1,0G，所以22022213GAk，20221312GBk，所以0GAGBkk，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线G