第六章 弯曲变形

1弯曲变形第六章目录2第六章弯曲变形§6-1工程中的弯曲变形问题§6-2挠曲线的微分方程§6-3用积分法求弯曲变形§6-4用叠加法求弯曲变形§6-6减小弯曲变形的一些措施§6-5简单超静定梁目录3一、为何要研究弯曲变形?弯曲正应力强度条件ZWmaxmaxmaxmaxzMyMσσI仅保证构件不会发生破坏，但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。切应力强度条件maxmaxmaxSzzFSIb4§6-1工程中的弯曲变形问题目录车间桁吊大梁的变形5目录§6-1工程中的弯曲变形问题车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还会引起较严重的振动；6目录§6-1工程中的弯曲变形问题摇臂钻床简化为刚架，受工件的反力作用；如果钻床的变形过大，不能准确定位。7§6-1工程中的弯曲变形问题目录桥梁如果产生过大变形楼板、床、双杠横梁屋顶等都必须把它们的变形限制在允许的范围内。8§6-1工程中的弯曲变形问题目录２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的缓解车辆受到的冲击和振动作用.9目录§6-1工程中的弯曲变形问题当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？10目录§6-1工程中的弯曲变形问题还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析以及振动分析等方面。蹦床要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。除了解决构件的刚度外，3、研究弯曲变形11二、弯曲变形的物理量EAlFlNPIGlT扭转：FF拉伸弯曲变形的物理量如何？抗变形刚度杆件长度内力121、挠曲线x2、挠度ω向上为正3、转角逆时针为正截面形心在力的方向的位移截面绕中性轴转过的角度弯曲变形的物理量挠度ω弯曲变形的物理量转角+13§6-2挠曲线的微分方程2、挠曲线方程：)(xfyxx1、建立坐标系Xoy平面就是梁的纵向对称面；在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内的一条平面曲线；该曲线方程为：143、挠度、转角物理意义yxx①：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵坐标；ytg②：转角的物理意义过挠曲线上点作挠曲线的切线该切线与水平线的夹角为挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线方程在该点处的一阶导数；转角的正方向：从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。挠度转角关系为：154、挠曲线微分方程中性层处曲率:EIxM)(1yx)(xfy232)('1)(''1xyxy对于曲线y=f(x)在任一点处曲率（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）正好为xoy平面内的一条曲线，平面弯曲的挠曲线所以曲线y=f(x)：从数学上讲是一条普通的平面曲线，从力学上讲就是梁发生弯曲变形的挠曲线。16zEIxMxyxy)()('1)(''232瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；挠曲线微分方程EIxM)(1232)('1)(''1xyxyzEIxMxx)()(1)(232由于没有采用曲率的简化式，且弹性模量E无定量结果，挠曲线微分方程故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。该挠曲线微分方程是适用于弯曲变形的任何情况。非线性的，175、挠曲线近似微分方程0)()(xx1)(12x在小变形的条件下，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，，较小，转角EIxM)(''故得挠曲线近似微分方程：zEIxMxx)()(1)(23218符号规定：MM022dxd0MzEIxM)(''挠曲线近似微分方程022dxd0M挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线y弯矩M与二阶导数符号一致。适用范围：xωxωMM线弹性、小变形;y轴向上，x轴向右；近似原因:（1）略去了剪力的影响;（2）略去了项;（3）2wtan()wwx19zEIxMdxd)(22挠曲线的近似微分方程积分一次：CdxEIxMdxdz)('转角方程积分二次：DCxdxdxEIxMz))((挠曲线方程C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。§6-3积分法求弯曲变形20积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。目录（1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。边界条件：（3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。光滑连续条件21悬臂梁：xω梁的边界条件:0xL0022简支梁：xωL:0x:Lx梁的边界条件0023连续性条件：右左CC右左CCCPABaLxω:0x0:Lx0边界条件连续性条件:ax24:ax连续性条件：ABLaCMxω右左CC右左CC特别强调在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。25讨论：挠曲线分段（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；ABLaCM26（4）凡分段点处应列出连续条件；:0x:ax0lax根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；ABLaCM讨论：挠曲线分段00右左CC在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。边界条件连续性条件27A例1悬臂梁受力如图所示。求和。Axωx取参考坐标系1、列写弯矩方程221)(qxxM)0(Lx2、代入挠曲线近似微分方程中''zEIxM)(221''qxEI积分一次：CqxEIEI361'积分二次：DCxqxEI4241转角方程挠曲线方程AqBL283、确定常数C、D.边界条件：:Lx361qLC0481qLD)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEICqxEIEI361'DCxqxEI4241AqBL029EIqLA630xEIqLA84AqBL)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEI4、计算A截面的挠度和转角A截面处例2图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其maxmaxw和ABql解:由对称性可知,梁的两个支反力为RR2ABqlFFABqlFRAFRBx2()22qlqMxxx2346qlqEIwxxC222qlqEIwxx341224qlqEIwxxCxD此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为233(64)24qlxxlEI233(2)24qxwlxxlEI边界条件x=0和x=l时,0wxABqlFRAFRBAB在x=0和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，最大转角和最大挠度分别为3max24ABqlEIwmax在梁跨中点处有最大挠度值4max25384lxqlwwEI33目录（1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。4、确定挠曲线方程和转角方程5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。1、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。积分法计算梁变形的步骤边界条件：连续性条件：1()dEIwEIMxxC12()ddEIwMxxxCxC()EIwMx34CFABaLxω例3一简支梁受力如图所示。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角。1、求支座反力,LFbFAyLFaFByByFAyF2、分段列出梁的弯矩方程b,)(1xLFbxFxMA)(LxaBC段)0(axAC段),()(2axFxLFbxMxx35,1xLFbEI),(2axFxLFbEI3、代入各自的挠曲线近似微分方程中,)(1xLFbxM),()(2axFxLFbxM4、各自积分12112CxLFbEIEI22222)(22CaxFxLFbEIEI11316DxCxLFbEI22332)(66DxCaxFxLFbEI365、确定积分常数边界条件：0xLx连续条件：21ax)(6221bLLFbC,2C021DDFaLxω0102211212CxLFbEI2222)(22CaxFxLFbEI11316DxCxLFbEI22332)(66DxCaxFxLFbEI37)],(3[6)(2221bLxLEIFbx)(LxaBC段)0(axAC段],)([6)(2231xbLxLEIFbx,2)()](3[6)(22222axFbLxLEIFbx])(6)([6)(32232axLxbLxLEIFbx7、求最大转角0xLEIbLFabLEIbLFbxA6)(6)(2201LxLEIaLFabLxB6)(26、挠曲线方程LEIaLFabB6)(max当a＞b时:403、a=b时此梁的最大挠度和最大转角。EIFLyyEIFLLxCBA48;163max2max2FCABab41讨论积分法求变形有什么优缺点？§6-3用积分法求弯曲变形目录42§6-4用叠加法求弯曲变形目录1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。)()()(),,,(221121nBnBBnBFFFFFF)()()(),,,(221121nBnBBnBFyFyFyFFFy一、前提条件：弹性、小变形。二、叠加原理：各载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。三、叠加法的特征：例题4一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角A,B。ABCqMel解:将梁上荷载分为两项简单的荷载,如图所示ABCqMe(a)lBAMe(c)lAq(b)Bl)(qA)(qB()CqwCe()BMe()MAe()CMwCe())(CCqMCe))((AqMAAθθθ24e5-38416（）MlqlEIEI()()3e()243MlqlEIEIe))((BqMBBθθθ()3e246MlqlEIEI例题5试利用叠加法,求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC和两端截面的转角A,B.ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2解:可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加.（1）正对称荷载作用下ABCq/24415(2)5384768CqlqlwEIEI3311(2)2448BAqlqlEIEICABq/2q/2（2）反对称荷载作用下在跨中C截面处,挠度wC等于零,但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l/2的简支梁CABq/2q/2可得到：Bq/2ACq/23322()()2224384ABqlqlθθEIEI20Cw将相应的位移进行叠加,即得4125768CCCql()33312348384128AAAqlqlqlEIEIEI