计算方法-第5章-2、解线性方程组的直接方法(5.5高斯消去法的变形)

2020/1/181§5.5高斯消去法的变形§5.5.1平方根法,TALALLL定理：设是对称正定矩阵，则存在唯一的非奇异下三角阵使得且的对角元素皆为正。11：工程实际计算中，线性方程组的系数矩阵常常具有对称正定性，即其各阶顺序主子式及全部特征值均大于零。矩阵的这一特性使它的三角分解也有更简单的形式，从而导出一些特出的解法，如平方根法与改进的平方根法。工程实际计算中，线性方程组的系数矩阵常常具有对称正定性，及其各阶顺序主子式及全部特征值均大于零。矩阵的这一特性使它的三角分解也有更简单的形式，从而导出一些特出的解法，如平方根法与改进的平方根法。工程实际计算中，线性方程组的系数矩阵常常具有对称正定性，及其各阶顺序主子式及全部特征值均大于零。矩阵的这一特性使它的三角分解也有更简单的形式，从而导出一些特出的解法，如平方根法与改进的平方根法。殊2020/1/182一、定理证明1111121111111211122221,1,1(,,),,11nnnnnnnnnnnnAALUUDdiaguuPDUPuuuuuuuuuuUuuuu证：因对称正定，其各阶顺序主子式均大于零，故有其中L为单位下三角矩阵，为上三角阵。令则为单位上三角阵。TTTTTDPALULDPAPDLLUPLAPDP故由分解的唯一性TLDL2020/1/183定理10（对称阵的三角分解定理）设A为n阶对称阵，且A的所有顺序主子式均不为零，则A可唯一分解为TLDLA其中L为单位下三角阵，D为对角阵.2020/1/184由于A为对称正定阵nnnddddddD1112121DDTTTTLLLDLDLDLDLDLA1121212121))((2020/1/185定理11（对称正定矩阵的三角分解或Cholesky分解）如果A为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角阵L使A=LLT，当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的。2020/1/186二、递推公式计算1111211212222212112210000000(1,2,,).0(),()(1,2,,),()/(1,,)nnTnnnnnniijkjjjjjjkkijijikjkjjllllllllALLlllllinljklaljnlalllijn由其中由矩阵乘法及当时得1101111222;0(2,3,,)(3,,)jkkiillinllin这里规定。计算顺序是按列进行，即。2020/1/187111,;2.()/(1,2,,).()/(,1,,1).TiiiikkiikniikikiikiAAxbLybyLxyxyblylinxylxlinn当矩阵完成平方根分解后，求解，即求解两个三角形方程组(1)求（），求用平方根法解对称正定方程组时，计算L的元素lii需要用到开方运算。为了避免开方，可使用改进的平方根法。2020/1/188§5.5.2改进平方根法12121221121111111,0(),TnnnnnjjjkdldALDLlldllllljk其中由比较法得12121221121111111,0(),TnnnnnjjjkdldALDLlldllllljk其中由比较法得12121221121111111,0(),TnnnnnjjjkdldALDLlldllllljk其中由比较法得2020/1/18912111111,2,,,;()/(1,2,,1).1,2,,,(1,2,,1);/(1,2,,iiiiikkkjijijikkjkjkijijjjijijikkjkijijjindaldlaldldjitldintatljiltdji对于上式虽避免了开方运算，但增加了相乘因子，引进变量对于有111);.iiiiikikkdatl2020/1/181011111,;(2,,)./;/(1,,2,1).TTTTiiiikkknnnniiikikkiALDLLLLDLLybDLxyybyblyinxydxydlxin对称正定矩阵按分解和按分解计算量差不多，但分解不需要开方计算。求解计算公式2020/1/1811§5.5.3追赶法11112222211111.iiiiinnnnnnnnnxdbcxdabcxdAxdabcabcxdabxd在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法解常微分方程边值问题，常常会遇到求解以下形式的方程组简记此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组。11112222211111.iiiiinnnnnnnnnxdbcxdabcxdAxdabcabcxdabxd在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法解常微分方程边值问题，常常会遇到求解以下形式的方程组简记此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组。11112222211111.iiiiinnnnnnnnnxdbcxdabcxdAxdabcabcxdabxd在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法解常微分方程边值问题，常常会遇到求解以下形式的方程组简记此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组。nnifffff1212020/1/181211112223100(2,3,,1)01111(1,2,,1)iiiiinnnnnibcbacacinbauclucALUlclucin定理：设三对角方程组系数矩阵满足下列条件：则它可分解为其中为已给出的，且分解是唯一的11111221nnnaaaLUA其中为待定系数iii,,（4.13）三对角方程组系数矩阵满足下列条件：2020/1/181311111111,,(2,3,,)0(12,,)/(2,3,,)iiiiiiiiiiiiiiiAbualuimbcluuimublauimubcl将上式右端按乘法规则展开并与进行比较得如果，，则由上式可得).1,,2(),,,2(,,,111111nicnibacbiiiiiiiiiA=LU分解成功后，求解Ax=f等价于解两个三角形方程组（1）Ly=f，求y；（2）Ux=y，求x.从而得到解三对角方程组的追赶法公式2020/1/1814111bc11bfynnyx)1,,3,2()(1niabciiiii),,3,2()()(11niabyafyiiiiiii1iiiixyx1.计算i的递推公式2.解Ly=f3.解Ux=y2020/1/1815我们将计算系数nnyyyβββ21121及的过程称为追的过程，将计算方程组的解11xxxnn的过程称为赶的过程2020/1/1816本章作业P1779、10