电路方程的矩阵形式

第15章电路方程的矩阵形式15-1割集15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15-3结点电压方程的矩阵形式15-4状态方程15-1割集网络拓扑i1i2i3i1i2i3i1i2i3抽象i=0连接性质抽象电路图抽象图支路+-1、网络的图一.图的基本概念有向图无向图连通图图不连通图15.1割集2.子图路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路径。3.连通图图G的任意两节点间至少有一条路径时称G为连通图。4.有向图图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向。二.名词和定义G={支路，节点}1.图15.1割集三.回路、树、割集1.回路(1)连通；(2)每个节点关联支路数恰好为2。12345678253127589回路不是回路回路L是连通图G的一个子图。具有下述性质15.1割集树不唯一树支：属于树的支路连支：属于G而不属于T的支路2.树(Tree)树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：(1)连通；(2)包含G的所有节点；(3)不包含回路。16个15.1割集树支数bt=n-1连支数bl=b-(n-1)单连支回路（基本回路）1234567145树支数4连支数3单连支回路独立回路单连支回路独立回路15.1割集三.割集(1)把Q中全部支路移去，将图分成两个分离部分；(2)保留Q中的一条支路，其于都移去，G还是连通的。①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：15.1割集①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q4:{1,5,2}Q3:{1,5,4}Q2:{2,3,6}单树支割集（基本割集）①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q3:{1,5,3,6}Q2:{3,5,4}Q1:{2,3,6}15.1割集单树支割集独立割集单树支割集独立割集1234{1，2，3，4}割集三个分离部分1234{1，2，3，4}割集4保留4支路，图不连通的。15.1割集①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}基本回路和基本割集关系对同一个树1.由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支，每个这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt。15.1割集2.由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有bl。①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}15.1割集15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵一.关联矩阵A用矩阵形式描述节点和支路的关联性质aijaij=1有向支路j背离i节点aij=-1有向支路j指向i节点aij=0i节点与j支路无关关联矩阵Aa={aij}nb节点数支路数645321①②④③Aa=1234123456支节100-101-1-1001001100-100-11-10Aa=1234123456支节1-1000-110001-1-1001010-110-10设④为参考节点-1-10010A=123123456支节100-10101100-1称A为降阶关联矩阵(n-1)b，表征独立节点与支路的关联性质15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵设:645321①②④③-1-10010A=123123456支节100-10101100-1654321uuuuuuu支路电压654321iiiiiii支路电流321nnnnuuuu节点电压15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵形式的KCLAi=0632521641iiiiiiiii-1-10010100-10101100-1654321iiiiii645321①②④③Ai=015.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵形式KVL312133221nnnnnnnnnuuuuuuuuuuuuuuu654321321101010001100110011nnnuuuuunTA645321①②④③15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵二.基本回路矩阵B2.支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。1支路j与回路i关联，方向一致-1支路j与回路i关联，方向相反0支路j不在回路i中bij=1２３６５４约定：1.回路电流的参考方向取连支电流方向。用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质B={bij}lb基本回路数支路数15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵1２３６５４选4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。123B=456123支回1-101001-11010=[Bt1]设Tiiiiiii][][321654矩阵形式的KVLTltuuuuuuuuu][][32165401-1001BtBlBu=015.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵Bu=0可写成0]1B[lttuuBtut+ul=0ul=-Btut654321uuuuuuuutl用树支电压表示连支电压连支电压树支电压矩阵形式的KVL的另一种形式15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵321100110010111001011iii3216543213232121iiiiiiiiiiiiiiii1２３６５４B=[Bt1]1BBTTtltltiii1BTlttiiTB用连支电流表示树支电流BTil=i矩阵形式的KCLKCL的另一种形式15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵三.基本割集矩阵Q约定(1)割集方向与树支方向相同。(2)支路排列顺序先树(连)支,后连(树)支。qij=1j支路与割集i方向一致-1j支路与割集i方向相反0j支路不在割集i中1２３６５４用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质Q={qij}n-1b基本割集数支路数15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵Q=456123支割集C1C2C3100-1-1001011-1C1:{1,2,4}C2:{1,2,3,5}C3:{2,3,6}设T321654][][iiiiiiiut=[u4u5u6]T矩阵形式的KCL：1２３６５４0010-11QlQtQi=015.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵0]Q1[ltliilltiiQ回路矩阵表示时lTttiiBTBQtl用连支电流表示树支电流矩阵形式的KCL的另一种形式Qi=0可写成ltltii]QQ[回路矩阵和割集矩阵的关系15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵3216546565454654654110100111010011001uuuuuuuuuuuuuuuuuuutltltuuuuuTTQ1Q][tlluuTQ1２３６５４矩阵形式的KVL用树支电压表示连支电压QTut=uKVL的另一种形式15.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵QQi=0QTut=u小结：lTttiiBul=-BtutlltiiQtlluuTQTBQtlABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=015.2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15-3结点电压方程的矩阵形式电路分析依据：KCLAi=0KVLu=ATun元件特性方程条支路电压第条支路电流第kUkIkk独立电流源独立电压源SkSkIU规定每个支路必须有一个阻抗k支路抽象为：k设标准支路为：kUSkISkUkIekIkYk支路电压、电流关系：SkkSkkkUIIZU)(设T21bIIIIZ=diag[Z1Z2Zb]Y=diag[Y1Y2Yb]SkkSkkkIUUYI)(T21bUUUUT21SbSSSUUUUT21SbSSSIIIIZ=Y-1kUSkISkUkIekIkY15-3结点电压方程的矩阵形式SSIUYUYISbSkSSbbSkkSbkbkIIIUUUUUUYYYIII1111100000000000000000000支路电压的矩阵方程SkkSkkkIUUYI)(kUSkISkUkIekIkY15-3结点电压方程的矩阵形式SSIUYUYI由KCLAi=0由KVLu=ATun0AAAASSIUYUYI0AAAATSSnIUYUY节点导纳阵TnYYAA令SSnnUYIUYA-A得节点电压方程由此求得支路电压和电流nUUnUTAISSIUYUYI15-3结点电压方程的矩阵形式例5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1①23456②③④1.画有向图2.110100001110100011A3.110.220.52diagYkUSkISkUkIekIkY15-3结点电压方程的矩阵形式5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1①23456②③④4.T000005SU5.T031000SISSnnUIUYA-AY6.311042127.25.015.05.3321nnnUUU得kUSISkUkIekIkY15-3结点电压方程的矩阵形式532100000j100000jj000jj00000RCLMMLRZ12345101000111000011A例215-3结点电压方程的矩阵形式[Y]=[Z]-154231100000j00000000000001RCLMMLRY)(j232MLL其中SSnnUIUYA-AYTnAYAY15-3结点电压方程的矩阵形式ekkekUYIejkjdkUgI设具有VCCS的节点分析kU+kISkUdkISkIkYekUSkejkjekkSkdkekkIUgUYIIII考虑b条支路15-3结点电压方程的矩阵形式SbSjSkSebejekebjkbjkIIIIUUUUYYYYIIII1111000000000000000000000000000000000000000000kjSemIUYISkejkjekkk