11.5泰勒级数与函数展开成幂级数

§11.1两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:11.5.1、泰勒(Taylor)级数11.5.3、泰勒级数的收敛性泰勒级数与函数展开成幂级数第十一章11.5.4、函数展开成幂级数的方法11.5.2、泰勒(Taylor)多项式若函数在(a,b)内有任意阶的导数，且可以生成级数。2a,)(0xf,na)(0)(xfn!21!1n令()fx则()fx()fxnan!()()nfx0a,)(0xf1a,)(0xf1a)(202xxa10)(nnxxan2!2a20)()1(nnxxann0annxxaxxaxxa)()()(02020111.5.1泰勒(Taylor)级数求出系数，即可求出级数。（将x=x0代入）)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:定义11.8若函数的某邻域内具有任意阶导数,机动目录上页下页返回结束例11.求函数的麦克劳林级数.解:,)()(xnexf),,1,0(1)0()(nfn1其收敛半径为故所求麦克劳林级数为nRlim!1n!)1(1nx2!21x3!31xnxn!1故得级数)0()(!1nnnfa!1n1x2!21x3!31xnxn!1Pn(x)称为的n阶泰勒多项式.定义11.9阶的导数,时,有)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(则当泰勒目录上页下页返回结束11.5.2、泰勒公式例11.求函数在x=0的n阶泰勒多项式。解:,)()(xnexf),,1,0(1)0()(nfn()1nPxx2!21x3!31x1.!nxn所以，)0()(!1nnnfa!1n64202464224xye1()1yPxx22()12!xyPxx解:)()(xfn)0()(nfPn(x)=x12kn),2,1,0(k3!31x5!51x1211(21)!(1).nnnxkn2,)1(k,0)0()(!1nnnfakn2,012kn,!)1(nkxsin例11.32写出在x=0处的n阶泰勒多项式。12!)12()1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo42246420246!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy机动目录上页下页返回结束4224642024612!)12()1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxyxsin泰勒多项式逼近机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束定理11.13泰勒中值定理:阶的导数,时,有)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn①其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR②则当)0(之间与在xx11.5.2、泰勒级数的收敛性公式①称为的n阶泰勒公式.问题：只要在处的任意阶导数存在，就可以写出在处的泰勒级数，但在处的泰勒级数是否收敛，即不一定是它的泰勒级数的和函数。定理11.14.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有即使收敛，那么是否一定收敛于公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.机动目录上页下页返回结束例1.将函数展开成x的幂级数.解:()1nPx由泰勒定理对任何有限数x,其余项满足e!)1(n1nxxe故,!1!31!21132nxxnxxxen(在0与x之间)x2!21x3!31x1.!nxn机动目录上页下页返回结束由例11.32，它在x=0处的泰勒多项式为1xex2!21x3!31x1()!nnxRxn机动目录上页下页返回结束例2.将展开成x的幂级数.解:由例11.32，它在x=0处的泰勒多项式为sinxx对任何有限数x,其余项满足))1(sin(2n!)1(n1nx3!31x5!51x1211(21)!(1)().nnnnxRxxsinn12!)12(115!513!31)1(nnnxxxx机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束类似地，可得)1(lnxx221x331x441x11)1(nnxn]1,1(xxcos1!22x!44x!66x!)2()1(2nxnnmx)1(1xm2!2)1(xmm,!)1()1(nxnnmmm当m=–1时x11,)1(132nnxxxx),(x)1,1(x)1,1(x11.5.4、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数)(xf第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内)(limxRnn是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开机动目录上页下页返回结束2.间接展开法x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数展开成x的幂级数.解:因为nnxxx)1(12)11(x把x换成2x211xnnxxx242)1(1)11(x,得将所给函数展开成幂级数.机动目录上页下页返回结束例5.将展成解:因为)(sincosxx的幂级数.机动目录上页下页返回结束而120!)12(1)1(sinnnnxnx所以xcosnnnxn20!)2(1)1()!)12(1)1((120nnnxn)!2()1(!4!21242nxxxnn例6.将展成解:的幂级数.机动目录上页下页返回结束xx2cos2121sin20!)2(1)1(2121nnn,!)2(4)1(2121nnnnxn),(x解:因为例7.将展成的幂级数.nxxnxxxe!1!31!21132),(x所以nnxn0!1nnxn)3(!10nnnxn)3(!1)1(0),(x例8.将展成x－1的幂级数.解:)3)(1(13412xxxx21x21x222)1(xnnnx2)1()1(81nnnnnx)1(2121)1(3220)31(x121x41x1机动目录上页下页返回结束141x)21(x内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1(lnxxx2!21x,!1nxn221x331x441x11)1(nnxn式的函数.]1,1(x!)12()1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x!)2()1(2nxnnmx)1(1xm2!2)1(xmm,!)1()1(nxnnmmm当m=–1时x11,)1(132nnxxxx),(x),(x)1,1(x)1,1(x机动目录上页下页返回结束作业P2791,2(4);3(1)