第三、四节矩阵满秩谱分解

第二节QR分解QR分解也称为正交三角分解矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要作用。主要内容：1·矩阵的QR分解--Schmidt正交化方法2·矩阵的QR分解--Householder变换、Givens变换QR分解定理任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A=QR，其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩阵。由于x1,x2,…,xn线性无关，将它们用Schmidt正交证明设A是一个实满秩矩阵,A的n个列向量为x1,x2,…,xn定义:设.nnCA如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵R，使得QRA则称之为A的QR分解或酉三角分解当时，则称为A的正三角分解nnRA化方法得标准正交向量e1,e2,…,ennnnnnnebebebxebebxebx221122211221111其中nibii,,2,1,0从而有nnnnnnbbbbbbeeexxx222112112121nnnnnbbbbbbReeeQ2221121121,令IQQT则则如果再证唯一性,11RQQRA由此得DQRRQQ1111式中D=R1R-1仍为具有正对角元的上三角矩阵。由于DDDQDQQQITTT11即D为正交矩阵，因此D为单位矩阵（正规上三角为对角阵）故RDRRQDQQ111,说明：1·若不要求R具有正对角元，则A的不同QR分解仅在正交矩阵的列和上三角矩阵R的对应行相差模为1的因子。该定理的证明过程给出了利用Schmidt正交化方法求可逆矩阵QR分解的方法。例1求矩阵A的QR分解110201221A解，则记122,102,011321xxx2·若A为满秩复矩阵，则存在酉矩阵Q与复非奇异上三角矩阵R，使A=QRTyyyxyyyxTyyyxyyxyyxyyxyxyxy2,1,121,1,131231132),(),(1),(),(33121),(),(2211222311131112将正交化321,,xxxTyyTyyTyyeee2,1,11,1,10,1,1663332221332211单位化336233132121122322eeexeexex整理得,03633663322663322Q令363300302222RQRA则Householder变换O+OTIHR2)(3)(H则记即：该变换将向量变成了以为法向量的平面的对称向量。Householder变换又称为反射变换或镜像变换，有明显的几何意义。在中，给定一个向量，令表示关于平面（以为法向量）的反射变换所得像，如图所示，3R定义设是一个单位向量，令nCHIH2)(则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。性质5.1.1设H是一个Householder矩阵，则（1）H是Hermite矩阵，；（2）H是酉矩阵，；（3）H是对合矩阵，；（4）H是自逆矩阵（5）diag(I,H)也是一个Householder矩阵;（6）detH=-1。HHHIHHHIH2HH1推论1对于任意的，存在Householder矩阵H，使nCx1aeHx其中为实数。12,eaxxaH)1,(,2)(uuRuuuIHTnT1aeHx2xa推论2对于任意的，存在Householder矩阵HnRx上述结论表明，可以利用Householder变换将任意向量化为与第一自然基向量平行的向量（共线）。nRx1e，其中使得得定理设,,,nC,22H令Householder矩阵如果,2)(HIH则2其中例2用Householder变换将向量化为与平行的向量。Tiix2,,232xTe0,0,11iexH21iaeaxxaH2,12ia325301211iiaexaex13ieHx因此解由于为了使为实数，取令112102145105101512iiiiIHH则也可取或3aia3说明[1]将矩阵A按列分块,取nA,,,2121121111111,aeaeaHIH111200**,,,11121111BaHHHAHn利用Householder矩阵求矩阵的QR分解的步骤：则[2]将矩阵按列分块，)1()1(1nnCBnB,,,32122221221222,bebebuHuuIH2222~22~001HHT2211200**0***)(CaaAHH)2()2(2nnCC取则其中121nHHHQ则A=QR依次进行下去，得到第n-1个n阶的Household矩阵Hn-1，使得RaaaAHHHnn***21121[3]因为自逆矩阵，令iH例2：已知矩阵,112240130A利用Householder变换求A的QR分解因为,2,0,01T记,2211a令21111111eaeaT1,0,121则HIH1112,001010100从而1302402121AH记,3,4T则,5222b令22222221ebeb,3,1101THIH2222~,433451记,430340001~00122HHT则RAHH20015021212取0053404305121HHQ则QRA说明：1、利用Householder变换进行QR分解，即使A不是列满秩矩阵也可进行，但此时R是奇异矩阵；2、QR分解在求解线性方程组最小二乘问题中有重要应用。见P121。2、设,nmCA则也有相应的QR分解；第三节满秩分解本节讨论将一个非零矩阵（长方形）分解成一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积问题.主要内容：1·矩阵的Hermite标准型2·利用Hermite标准型进行矩阵的满秩分解)1(,,0BCACCCBrCAnrrrmrnmr，使则存在设满秩分解定理（1）式称为矩阵A的满秩分解.说明：当A为满秩矩阵（列满秩或行满秩），A可分解为一个因子为单位矩阵，另一个因子为A本身，称此满秩分解为平凡分解。例1化矩阵A为Hermite标准形1,144112033630001240202iiiiiiA1441120336300021010)(22121iiiriiHiirrrri0000001210002101032213232iiirri121000336300021010222113满秩分解定理：设,0rCAnmr且A的Hermite标准形H为行第rHkkkr0000000000000000000000**10*000000**0**100000**0**0**10021则取A的第列构成矩阵B，取H的前r行构成矩阵rkkk,,,21C，则A=BC即为矩阵A的满秩分解1）求矩阵A的Hermite标准形H；2）取矩阵C为H的前r个非0行；3）取矩阵B为A的对应于H的r个单位向量的列；则A=BC满秩分解的步骤例：求矩阵122121211142A的满秩分解首先利用行初等变换求A的Hermite标准形H：122121211142A21rr12211142212112132rrrr33003300212131223rrr000011002121H000011001021H000011001021可见3,121kk故A的满秩分解为211112A11001021nrrrmrCDCBBCA,,111))((,CBCDBDACDrrr设则注2、矩阵A的满秩分解虽然不唯一的，但对不同的分解：A=BC，乘积保持不变。HHHHBBBCCC11)()(注1、矩阵A的满秩分解是不唯一的第四节矩阵谱分解主要内容：一、单纯形矩阵的谱分解二、正规矩阵的谱分解左特征向量给定n阶矩阵A，是A的特征值。由于AT与A有相同的特征值，设Y是AT的属于的特征向量，则,YYAT称YT是A的属于的左特征向量，也称A的属于的特征向量为右特征向量.TTYAY两端取转置得：一、单纯形矩阵的谱分解设A是n阶单纯矩阵，1,2,…,n是A的n个不同特征值，x1,x2,…,xn是A的n个线性无关的特征向量，P=(x1,x2,…,xn),则:TTTPPAPPA11)(,这表明AT也与对角矩阵相似，故AT也是单纯矩阵ndiag,,,21其中性质:单纯矩阵不同特征值的左右特征向量是正交的以矩阵特征值的代数重复度都为1为例加以证明:设y1,y2,…,yn是AT的n个线性无关的特征向量.则,211TnTTyyyP(y1,y2,…,yn)=(PT)-1=(P-1)TIxxxyyyPPnTnTT21211从而TTTPPA1)(,2122212121111IxyxyxyxyxyxyxyxyxyPPnTnTnTnnTTTnTTTjijixyjTi,0,1即：1PPATnnnTTyxyxyx222111对于单纯矩阵A（矩阵特征值的代数重复度都为1），TnTTnnyyyxxx212121niiiniTiiiAyx11TiiiyxA其中---矩阵A的谱分解即单纯矩阵A分解成n个矩阵Ai之和的形式，其系数组合是A的谱（所有相异的特征值）。由TiiiyxA)1(jiojiyxTiiTjjTiiTjjTiijiyxyxyxyxAA)())((则对于有下面的性质：iAjiojiAiniiniTiiAyx11TnTTnyyyxxxPPI21211（2）例1求矩阵A的谱分解1411A)3)(1(1411)(Af21,2121xx解,1,321由得设A的左特征向量为TTyy21,0,12111xyxyTT4121,412121TTyy