导数与微分课件

第2章导数与微分结束本章共六节，大体上分为两部分。其中第一部分是导数，第二部分是微分，从结构上来说它们是平行的。前页结束后页2.1.1引出导数概念的实例例1平面曲线的切线斜率曲线的图像如图所示,在曲线上任取两点和，作割线，割线的斜率为)(xfy00()Mx,y),(00yyxxN00()()tanMNfxxfxykxxMN2.1导数的概念yxO()yfxMNTx0xxx0yP前页结束后页这里为割线MN的倾角，设是切线MT的倾角，当时，点N沿曲线趋于点M。若上式的极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线MT的斜率，即xxfxxfxykxxx)()(limlimtanlimtan00000θ0xyxO()yfxMNTx0xxx0yP前页结束后页当趋向于0时，如果极限设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q)，当产量Q从变到时，总成本相应地改变量为当产量从变到时，总成本的平均变化率0Q0QQ00()()CCQQCQQ00QQ00()()CQQCQCQQ0000()()limlimQQCQQCQCQQ存在，则称此极限是产量为时总成本的变化率。0Q0Q例2产品总成本的变化率前页结束后页定义设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域，记若存在，则称其极限值为y=f(x)在点x0处的导数，记为xx0),()(00xfxxfyxyx0limxxfxxfx)()(lim000.|dd,|dd,|)(0000xxxxxxxfxyy'xf'或或或.)()(limlim)(00000xxfxxfxyxf'xx或2.1.2导数的概念前页结束后页导数定义与下面的形式等价：.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx若y=f(x)在x=x0的导数存在，则称y=f(x)在点x0处可导，反之称y=f(x)在x=x0不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢.前页结束后页•书上50页还有几个常见的形式，值得注意的是其中的第二个一般来说只能在已知导数存在的时候使用。另外，导数为无穷只是个记号，不代表导数存在。前页结束后页三、左导数与右导数左导数:.)()(lim)(0000xxfxxfxfx右导数:.)()(lim)(0000xxfxxfxfx显然可以用下面的形式来定义左、右导数,)()(lim)(0000xxxfxfxfxx.)()(lim)(0000xxxfxfxfxx定理3.1y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0的左、右导数存在且相等.前页结束后页三、导数的几何意义当自变量从变化到时，曲线y=f(x)上的点由变到)).(,(00xxfxxM此时为割线两端点M0，M的横坐标之差，而则为M0，M的纵坐标之差，所以即为过M0，M两点的割线的斜率.0x)).(,(000xfxMxyxyxx0M0M0xxx0前页结束后页曲线y=f(x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲线y=f(x)无限接近时的极限位置M0P，因而当时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：0xD00()limlimtantanxyfxkx所以，导数的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0))处的切线斜率.)(0xfM0M0xxx0P0M前页结束后页设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：而当时,曲线在的切线方程为0001()().()yfxxxfx0xx(即法线平行y轴).0xx000()()().yfxfxxx当时,曲线在的法线方程为0()0fx()fx0M而当时,曲线在的法线方程为0()0fx()fx0M0()fx()fx0M前页结束后页例3求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:同理可得:特别地,.2xy()()yfxxfx222()2()xxxxxxxxxy2xxxxyyxx2)2(limlim00为正整数）nnxxnn()(111()()xn前页结束后页例4求曲线在点处的切线与法线方程.解:因为,由导数几何意义,曲线在点的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为:即法线方程为:3xy)8,2(233)(xx3xy)8,2(1211,12)3(122221kkxykxx)2(128xy01612yx)2(1218xy即09812yx前页结束后页2.1.4可导性与连续性的关系定理2若函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续.证因为f(x)在点x0处可导，故有00()lim.xyfxx根据函数极限与无穷小的关系,可得:00()lim0.xyfxx，其中两端乘以得:0()yfxxxx由此可见:000limlim(())0.xxyfxxx即函数y=f(x)在点x0处连续.证毕.前页结束后页例5证明函数在x=0处连续但不可导.||yx证因为0lim||0xx所以在x=0连续||yx00(0)limlim1xxyxfxx1limlim)0(00xxxyfxx而即函数在x=0处左右导数不相等,从而在||yxx=0不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件即可导定连续,连续不一定可导.前页结束后页设函数u(x)与v(x)在点x处均可导，则:定理一);()()]()()[1('''xvxuxvxu),()()()()]()()[2('''xvxuxvxuxvxuuCCuCCxv)(,()(,则为常数）特别地2)]([)()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu()1,ux2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则2.2导数的运算特别地,如果可得公式21()(()0)()[()]vxvxvxvx前页结束后页wvuwvu)(注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形wuvwvuvwuuvw)(例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则前页结束后页)3lnsin(3xexyx解：)3(ln)(sin)()(3xexxxexxcos32例2设52,xyxy求)(52)(5xx2xx解：)25(xxy2ln25225xxxxyxexyx，求设3lnsin3例1前页结束后页)(tanxy)cossin(xx解：xxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1即2(tan)secxx2(cot)cscxx类似可得例3求y=tanx的导数前页结束后页)cos1(xxx2cossin)(secxy解：xxtancos1xxtansec即(sec)sectanxxx(csc)csccotxxx类似可得例4求y=secx的导数前页结束后页定理二)(xu如果函数在x处可导，而函数y=f(u)在对应的u处可导，那么复合函数)]([xfy在x处可导，且有dydydudxdudx或xuxyyu对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法注：2.2.2复合函数的导数前页结束后页xuxuy)1()(sin2xu2cos)1cos(22xx例7yxy求,2lnsin222lncos22xxxxxxxy2221212lncos222解：解：复合而成可看作221,sin)1sin(xuuyxyyxy求),1sin(2例6前页结束后页定理三,0)(y且)(yx如果单调连续函数在某区间内可导，则它的反函数y=f(x)在对应的区间内可导，且有1dydxdydx1()()fxy或证因为的反函数()()yfxxy是()[()]xyfx所以有dxdydydx1上式两边对x求导得xyf1或dydxdxdy1或1()()fxy所以0)(ydydx2.2.3反函数的求导法则前页结束后页）内单调且可导，在区间（而2,2sinyx,0cos)(sinyyy且解：y=arcsinx是x=siny的反函数因此在对应的区间（-1，1）内有)(sin1)(arcsinyxxycos1y2sin11211x21(arcsin)1xxx即同理21(arccos)1xxx21(arctan)1xx21(cot)1arcxx求函数y=arcsinx的导数例7前页结束后页基本导数公式表为常数）CC(0).(1为常数）().(21xxaxxaln1).(log314.(ln)xxxxee).(6xxcos).(sin7xxsin).(cos82.2.4基本初等函数的导数aaaxxln)(5.前页结束后页dxdydxddxyd22即,)(yy])([)(xfxf或22)(dxxfd,y记作),(xf22dxyd或二阶导数：)(xfy如果函数f(x)的导函数仍是x的可导函数，就称)(xfy的导数为f(x)的二阶导数，n阶导数：()()()()nnnnddddyfxfxydxdxdxdx二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数的计算：运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导2.3高阶导数前页结束后页,lnaayx解：nxnaay)(ln)(,)(ln2aayx,特别地,)(xxeexnxee)()(,)(xxee,例9)(,sinnyxy求设)2sin(xy)2cos(x)22sin(x解：)(sinxyxcos)2sin(x)22sin(xy)23sin(x……)2sin()(nxyn即()(sin)sin()2nxxn同理()(cos)cos()2nxxn)(,nxyay求设例8前页结束后页•简单介绍下求高阶导数的Leibniz公式。特别指出它和二项式展开的形式上的类似之处与差别。前页结束后页22xyxyeyex1.隐函数的导数例10求方程所确定的函数的导数解：方程两端对x求导得0)2(2xyeyxxyye22xeexydxdyyyx)0(2xey2.5隐函数和由参数方程确定的函数的导数隐函数即是由所确定的函数，其求导方法就是把y看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出。(,)Fxyy20yxexye即前页结束后页例9dxdyyxy求设),2arctan(解：两边对x求导得)21()2(112yyxy1)2(12yxy得解出,y前页结束后页)1ln(2)1(xxxexyy2可以写成函数解一][)1ln(2xxey])1ln([2)1ln(2xxexx