2017年上海市高考数学试卷

第1页（共23页）2017上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=．2．（4分）若排列数𝑃6𝑚=6×5×4，则m=．3．（4分）不等式𝑥−1𝑥＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+3𝑧=0，则|z|=．6．（4分）设双曲线𝑥29﹣𝑦2𝑏2=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若𝐷𝐵1→的坐标为（4，3，2），则𝐴𝐶1→的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）={3𝑥−1，𝑥≤0𝑓(𝑥)，𝑥＞0为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣1𝑥，③y=x3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{an}和{bn}，其中an=n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{bn}的第an项等于{an}的第bn项，则𝑙𝑔(𝑏1𝑏4𝑏9𝑏16)𝑙𝑔(𝑏1𝑏2𝑏3𝑏4)=．第2页（共23页）11．（5分）设a1、a2∈R，且12+𝑠𝑖𝑛𝑎1+12+𝑠𝑖𝑛(2𝑎2)=2，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧．用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和．若过P的直线lP中有且只有一条满足D1（lP）=D2（lP），则Ω中所有这样的P为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组{𝑥+5𝑦=02𝑥+3𝑦=4的系数行列式D为（）A．|0543|B．|1024|C．|1523|D．|6054|14．（5分）在数列{an}中，an=（﹣12）n，n∈N*，则𝑙𝑖𝑚𝑛→∞an（）A．等于−12B．等于0C．等于12D．不存在15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{xn}的通项xn=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c=0D．a﹣2b+c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：𝑥236+𝑦24=1和C2：x2+𝑦29=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是𝑂𝑃→⋅𝑂𝑄→的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且𝑂𝑃→⋅𝑂𝑄→=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）第3页（共23页）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+12，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=√19，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．第4页（共23页）19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an={5𝑛4+15，1≤𝑛≤3−10𝑛+470，𝑛≥4，bn=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？第5页（共23页）20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：𝑥24+𝑦2=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=√2，求P的坐标；（2）设P（85，35），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且𝐴𝑄→=2𝐴𝐶→，𝑃𝑄→=4𝑃𝑀→，求直线AQ的方程．第6页（共23页）21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．第7页（共23页）2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4}．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数𝑃6𝑚=6×5×4，则m=3．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数𝑃6𝑚=6×5×4，∴由排列数公式得𝑃63=6×5×4，∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式𝑥−1𝑥＞1的解集为（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由𝑥−1𝑥＞1得：1−1𝑥＞1⇒1𝑥＜0⇒𝑥＜0，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．第8页（共23页）【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得43πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+3𝑧=0，则|z|=√3．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．【解答】解：由z+3𝑧=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即{𝑎2−𝑏2=−32𝑎𝑏=0，解得：{𝑎=0𝑏=±√3．∴𝑧=±√3𝑖．则|z|=√3．故答案为：√3．第9页（共23页）【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线𝑥29﹣𝑦2𝑏2=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：𝑥29﹣𝑦2𝑏2=1，其中a=√9=3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若𝐷𝐵1→的坐标为（4，3，2），则𝐴𝐶1→的坐标是（﹣4，3，2）．【分析】由𝐷𝐵1→的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，第10页（共23页）∵𝐷𝐵1→的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴𝐴𝐶1→=(−4，3，2)．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）={3𝑥−1，𝑥≤0𝑓(𝑥)，𝑥＞0为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为89．【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g（x）={3𝑥−1，𝑥≤0𝑓(𝑥)，𝑥＞0为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=89，可得f﹣1（x）=2的解为x=89．故答案为：89．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关第11页（共23页）系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣1𝑥，③y=x3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为13．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=𝐶42=6，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣1𝑥，③y=x3，④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=𝐶42=6，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）=26=13．故答案为：13．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{an}和{bn}，其中an=n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{bn}的第an项等于{an}的第bn项，则𝑙𝑔(𝑏1𝑏4𝑏9𝑏16)𝑙𝑔(𝑏1𝑏2𝑏3𝑏4)=2．【分析】an=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项，可得𝑏𝑎𝑛=𝑎𝑏𝑛=(𝑏𝑛)2．于是b1=a1=1，(𝑏2)2=b4，(𝑏3)2=b9，(𝑏4)2=b16．即可得出．【解答】解：∵an=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项，∴𝑏𝑎𝑛=𝑎𝑏𝑛=(𝑏𝑛)