概率论 常用统计分布

下回停第二节常用统计分布一、常见分布二、概率分布的分位数一、常见分布在实际中我们往往会遇到这样的问题,要求有本节介绍一些最常见的统计分布.例如在无线电接收中，某时刻接收到的信号2XY通常需要求出Y的概率分布.关随机变量的函数的概率分布.这个信号通过平方示波器，则是一个随机变量X，若我们把输出的信号为正态分布是自然界中最常见的一类概率)(21222ZYXmS例如在统计物理中，若气体分子速度是随的分布规律.),5.1,0(N),,(ZYXV各分量相互独立，且均服从机向量要求该分子运动动能的概率分布问题.是关于这些正态随机变量的平方以及平方和高，体重等都近似服从正态分布.常见的问题分布，例如测量的误差；人的生理尺寸：身1.2分布要求S的分布,自然首先就要知道S中的随机变量222ZYX的概率分布.对于这种在实际中经常碰到的随机变量平方和问题，我们自然希望能够对其加以总结，卡方分布就是在类似的实际背景下提出的.中右端包含独立指222212nnXXX(1)定义自由度：的样是来自总体设)1,0(,,,21NXXXn222212nnχXXX本，则称统计量服从.2分布的自由度为n.变量的个数定义5.6其它002212122xexnxpxnn)()(证211(1),,22因为分布即为分布),1,0(~NXi又因为),1(~22iX由定义211~,,1,2,,.22iXin即定理5.42n分布的概率密度:分布的概率分布2)2(nχ,,,,21相互独立因为nXXX,,,,22221也相互独立所以nXXX2211~,.22nniinX根据分布的可加性知性质1独并且设21222121,),(~),(~YYnYnY)(2分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量的情形)相互并且设),,2,1(),(~2miYnYiii分布的性质2(3)).(~,21221nnYY则立).(~,2121mmiinnnY则独立性质2.2)(,)(),(~2222nDnEnnnn则若证所以因为),1,0(~NXi,1)]([)()(22iiiXEXDXExexXExid21)(2442)(2分布的数学期望和方差2032d22xex]d3[2220202322xexexxx32242)]([)()(iiiXEXEXD,213),,2,1(niniinXEE122)(故niiXE12)(,nniinXDD122)(niiXD12)(.2n)1)((2iXE性质3有则对任意设,),(~22xnnnniinXXXX,,,,,6.521122其中由假设和定义证22()1,()2(1,2,,)iiEXDXin2221lim{}.22txnnnPxedtn且独立同分布因而独立且每个,,,,),1,0(~22221niXXXNXdtexnnXPtxniin212221}{lim由中心极限定理得n分布，也即当分布的极限分布是正态即2).2,(),1,0(222nnNNnnnn进而服从很大时，}2{lim2xnnPnn解例1相互独立，，且设YXYNX,)2(~),4,0(~2.42的概率分布试求解YX)1,0(~2NX相互独立与且YX42).3(~422χYX得，由可加性得又因为)1(~422χX相互独立，所以且因为YXNX,(0,4)~的一组为来自正态总体设)1,0(,,,621NXXX例2使得求样本21,,CC2654322211)()(XXXXCXXCY),4,0(~6543NXXXX同理解),2,0(~21NXX)1,0(~2211NXXY则)1,0(~465432NXXXXY则.2分布服从221)2(XX所以26543)4(XXXX.,412121CC则与又2211XXY465432XXXXY相互独立.2221YY)2(~2历史上，正态分布由于其广泛的应用背景增大而接近正态分布,样本均值的分布将随样本量识，我们知道在总体均值和方差已知情况下，数据分析工作，对数据误差有着大量感性的认的酿酒化学技师Cosset.WS,他在酒厂从事试验在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻和良好的性质，曾一度被看作是“万能分布”，2.t分布但是Cosset在实验中遇到的样本容量仅有5~6样本曲线Cosset正态曲线个，在其中他发现实际数据的分布情况与正态分布有着较大的差异.Oxy于是Cosset怀疑存在一个不属于正态的其他分布，通过学习终于得到了新的密度曲线，并在1908年以“Student”笔名发表了此项结果，后人称此分布为“t分布”或“学生氏”分布.YXnYNX,),(~),1,0(~2且设t分布又称学生氏(Student)分布.(1)定义则称随机变量独立,nYXT/).(~,ntTtn记为分布的服从自由度为定义5.7.图分布的概率密度曲线如t显然图形是关于tntnnnthn,12π21)(212分布的概率密度函数为)()2(nt充分大时，其图形当n.0对称t类似于标准正态变量.概率密度的图形Oxy2n9n2nn(3)T的数字特征,0)(TE,π21)(lim22tneth因为,)1,0(分布分布近似于足够大时所以当Ntn.)1,0(,分布相差很大分布与但对于较小的Ntn).2(2)(nnnTD例3./91291iiiiYXT）（且都服从相互独立和设总体9,0,NYX的样本，来自总体和YXYYYXXX,,,,,,,921921求统计量T的分布，其中解)1,0(~NX从抽样分布知，故而)1,0(~3/),9,0(~NYNYii.9,,2,1),1(~)3(22iYi从而由可加性知)9(~)3(2912iiY)9(~991912912tYXYXiiii于是由t的定义有即).9(~91291tYXTiiii分布F3.(1)定义相互独立，且设YXnYnX,),(~,)(~2212则称随机变量21//nYnXF分布，记为的服从自由度为Fnn),(21).,(~21nnFF定义5.8分布的概率密度为),()2(21nnF其它,00,1222)(2212112221212111ynynnnynnnnypnnnn分布有以下性质F)3().,(~1),,(~1221nnFFnnFF则若1)),2(,2)(222nnnFE2)有对任意时则当设xnnnFF,4),,(~2213)这说明F分布极限分布也是正态分布.)4(,)4()2()2(2)(222212122nnnnnnnFDdtexFDFEFPtxn221π21})()({lim例4).,1(~,8.522nFnYXT有由定义有由定义因为7.5),(~ntT).,1(~),(~2nFTntT试证已知证,,),(~),1,0(~2独立且其中YXnYNX,),1(~222独立与且从而YXXnYXT例5所以因为,),(~mnFX.,),4)(,(~11DXEXnmnFX试求设),(~1nmFX解由F分布的性质知,21nnEX所以得.)4()2()422(221nnmnmnDX二、概率分布的分位数使若存在,x}{xXP(01),X对于总体和给定的1.定义2.常用分布的上侧分位数记号分布N(0,1)t(n)F(n1,n2)记号)(2nu)(2n)(nt),(21nnF.分位数的分布的上侧为则称Xx定义5.93.查表法(1)若X的分布密度关于y轴对称，则xx11xyOxx特例：uuN1)1,0()1：)()(:)()21ntntnt：正态分布的上侧分位数u)1)(}{uuXP11xeuXPuxdπ21}{221)(即u.2,的值可查得由附表给定u则其上侧服从标准正态分布设),1,0(NX满足分位数uα1α05.0u025.0u根据正态分布的对称性知.1uu,645.1,96.11)(u0.950.975)05.0()025.0(αuOxy)(xφyαu1α1称满足条件对于给定的,10,可以通过查表求由分布的对称性知).()(1ntnt.)(,45untn时当2)()ttn分布的上分位：)(d)()}({nttthnttP.)()(分位点分布的上为的点ntnt.分位点的值得上α1α)(ntαOxy)(xhy)10(05.0t,8125.1)15(025.0t.1315.2(2)X的分布密度无对称性的情形:)()12n称满足对于给定的正数,10,)(222d)()}({nyypnP.)()(22分布的上侧分位数为的点nnα)(2nχαOxy)(xpy460时，可查表当n)8(2025.0)10(2975.0)25(21.0(表4只详列到n=60为止).,535.17,247.3.382.34.2)(,2unnnn充分大时当例如：05.0205.01202120)120(u.5.145费歇资料费歇(R.A.Fisher)公式：.2)(602unnnn时，当.分位点是标准正态分布的上其中u64.1240120)12,9(105.0F：),()221nnF等，对于1.0,05.0,025.0,01.0此外，还可利用关系.),(1),(12211nnFnnF.1FF求得由)9,21(59.0F如：8.21.357.0)30,14(05.0F.31.2)8,7(025.0F,90.4.8~5可直接查表.),(1),(12211nnFnnF证)},({1211nnFFP所以),(11211nnFFP),(111211nnFFP,),(111211nnFFP),,(~21nnFF因为,),(11211nnFFP故),,(~112nnFF因为,),(112nnFFP所以,),(),(11221-1nnFnnF比较后得.),(1),(12211nnFnnF即内容小结1.三大抽样分布:分布分布分布,,2Ft的定义,性质.2.概率分布的分位数概念.}{xXP的样本，为来自于正态总体设),(),(21NXXn.__________~)(122niiX则解,,,1),1,0(~niNXi.且它们独立).(~)(2122nXnii则)(2n例1-1备用题例1-2）的样本，（来自正态分布设221,0,,,NXXXn.12的分布函数试求niiXY解所以Y的分布函数为)()()(2yTPyYPyF.22分布函数的表自由度为其中nn分布性质知则由令22,YT2~nT.0),(22yyn相应的由公式法可得，密度函数为21222211()()2Γ(/2)ynypyen21221,0.2Γ(/2)ynny