概率论 第二章XTK2

第二章习题课本章主要内容1.随机变量的引入⁂定义：设随机试验的样本空间为S={e}.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.称X=X(e)为随机变量.⁂与普通实函数的区别：(1)它的定义域是样本空间S，而S不一定是实数集;(2)它的取值是随机的，所取每一个可能值都有一定的概率.⁂随机变量的分类：离散型/非离散型(连续型)2.离散型随机变量及其概率分布⁂定义:取有限个或可数个值的随机变量;⁂分布律：P{X=xk}=pk,k=1,2,…其中pk满足：,0)1(kp.1)2(1kkp⁂常见分布：1）(0-1)分布：P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1(0p1)nk,...,2,1,02)二项分布：X∼b(n,p),)1(}{knkknkppCkXPp3)泊松分布：,...2,1,0,!}{kkekXPk)(~X3.随机变量的分布函数⁂定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{Xx}------称为X的分布函数对任意实数1221111{}()(){}()PxXxFxFxPXxFx⁂分布函数的性质(1)xxF,1)(0(2)F(x)是单调不减的,即若2121,xFxFxx则(3)1lim,0limxFFxFFxx(4)F(x)是右连续的,即F(x+0)=F(x)(1)离散型随机变量X的分布函数}{)(xXPxF}{xxkkxXPxdttfxF)()((2)连续型随机变量0)(.1xf21)(}{.321xxdxxfxXxP.)()()(.4的连续点，在xfxfxF1)(.2dxxff(x)的性质⁂三种重要的连续型随机变量(一)均匀分布其它，,0,1)(bxaabxf(二)指数分布0,00,1)(xxexfx(三)正态分布x,21)(222)(xexf⁂标准正态分布:X～N(0,1)2221)(xexdtexxt2221)(),(~2NX)1,0(~NXZx)(x)()(xxF1221}{xxxXxP4随机变量的函数的分布一、离散型随机变量函数的分布律二、连续型随机变量函数的概率密度方法：由随机变量X的概率密度去求随机变量Y=g(X)的概率密度.(1)求出Y的分布函数的表达式;(2)由分布函数求导数，即可得到.)(xfX第二章练习题一、填空题1.设随机变量X的概率密度为且P{X1/2}=0.75，则k=,b=.2.设随机变量X的分布律为X012p1/31/61/2则X的分布函数F(x)=.01000.,,()(,),bkxxfxbk其它210,x0,1/3,0x11/2,1x21,2x3.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+Xx+1=0有实根的概率是.4.设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X1/2}出现的次数,则P{Y=2}=..,,)(其它0102xxxf9/640.85.设X服从参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布.若P{X1}=5/9,则P{Y1}=.19/27利用常见连续型随机变量的分布求事件的概率利用常见离散型随机变量的分布求事件的概率课堂练习一、填空：1.设随机变量X服从参数为（2,p）的二项分布，随机变量Y服从参数（3,p）的二项分布，若，则P{Y≥1}=解95}1{XP2.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数为fY(y)=解3.设随机变量X~N（2，σ2），且P（2X4）=0.3，则P(X0)=解三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。解二.一工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的概率为第一台等于0.9,第二台等于0.8,第三台等于0.7,求在一小时内需要工人照管的机床台数的概率分布解四.某商店从早上开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间X(分)的分布函数是,求下列事件的概率:等待时间(1)“至多3分钟或至少5分钟”;(2)在开始营业3分钟没有顾客的条件下,顾客在以后的3分钟之内到达的概率.解0001)(4.0xxexFx五.设保险公司为10件产品进行寿命保险,每件交纳10元保费，若产品在5年内因质量问题而报废，则可获赔100元，假设该种产品的寿命服从正态分布N(6,0.52),求保险公司赔本的概率.（不考虑利息等其它因素）解六.设随机变量X的概率密度为求X的分布函数，且求的分布函数.解0()00xxexfxx2(1)YX七.已知随机变量X的概率密度为othersxxxf012)1(92)(求：Y=1-X2的概率密度1113091201910Yyyfyyy答案：其它答案2351.PX11011921319P11127PXppYp一、YF011()(04)24XYXyPXyPyXyPXyFyfyfyyyy一、2.当0y4时，一、3.22~(2,),2400.32220.8,010.2XNPXPX二、X0123Pk0.5040.3980.0920.006三、设Ak--掷出k点，k=1,2,…,6;B—恰好命中两发，则222|0.60.4,2,3,4,5,6kkkPBACk由全概率公式：66222221|0.60.40.2516kkkkkkPBPBAPAC四、1.221.2(1)3535315136(2)6|313PXXPXPXFFeePXPXXePX二、选择题1.设随机变量X具有对称的概率密度，即f(x)=f(-x),其分布函数为F(x),则P{|X|a}=().(A)2[1-F(a)](B)2F(a)-1(C)2-F(a)(D)1-2F(a)2.设随机变量X的概率密度为则()~N(0,1).)(21)(4)3(2xexfx23X23X23X23X(A)(B)(C)(D)AB(D)3.设X~N(,42),Y~N(,52)，记P(X-4)=p1,P(Y+5)=p2,则()(A)对于任意的实数有p1=p2(B)21pp(C)只对的个别值才有p1=p221ppA4.设随机变量X1,X2的分布函数为F1(x),F2(x),为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下面给出的各组数中应取（）.5253)(baA3232)(baB2321)(baC2321)(baDA5.设随机变量X~N(2,2),且P{2X4}=0.3,则P{X0}=（）(A)0.5(B)0.7(C)0.3(D)0.2D6.设随机变量，则随的增大，概率),(~2NXXP(A)单调增大．(B)单调减小．(C)保持不变．(D)增减不定．XP6826.0)8413.01(8413.01PX分析应选(C)．因为对于任意和，为常数【解】1.设随机变量X的分布函数为.3/4,1,3/41,,10,,0,0)(2xxbxxaxxxF试确定常数a,b的值.由分布函数的右连续性,可知)34()034()1()01(FFFF即bab3411解得:a=2/3,b=1/3.三、解答题会求待定常数离散型：作业1一(1)二（1）三（3）2.一批零件中有9件正品和3件次品,从中不放回地抽取零件,求(1)在取得正品前已取出次品数X的分布律和分布函数;(2)概率P{X2},P{0.5X2}.(1)的所有可能的取值为0,1,2,3,且X0123kp910111291231011129231112931290.750.2040.0410.005204.0}1{}25.0{005.0}3{}2{XPXPXPXP【解】会求离散型随机变量的分布律，分布函数和事件的概率（实质：古典概型）2.一批零件中有9件正品和3件次品,从中不放回地抽取零件,求(1)在取得正品前已取出次品数X的分布律和分布函数;(2)概率P{X2},P{0.5X2}.【解】作业1三（2）3.设X的分布律为02442111112481616Xp求Y=cosX的分布律.02442111112481616Xp【解】cosX01022cosX01221658116922会求离散型随机变量函数的分布律4.设连续性随机变量X的概率密度为2020410xxxkexfx,,,,,)(求(1)k=?(2)P{1X5},(3)F(x)答(1)k=1/2,(2)1/4,2,1,20,2141,0,21)()3(xxxxexFx已知连续型随机变量的概率密度，求待定常数，分布函数和一些事件的概率5.设X的分布函数为1110003xxcxxxF,,,,,)(求c=?;f(x);P{X-3},P{X1/2},P{X1/2},P{X1/2|X2/3},P{X=3}.已知连续型随机变量的分布函数，求待定常数，概率密度和一些事件的概率6.设连续型随机变量X的分布函数为0,00,)(22xxBeAxFx求:(1)系数A与B;(2)X的概率密度f(x);(3)X的取值落在区间[1,2]内的概率.7.设X的概率密度函数为,11)(2xxfX求随机变量31XY的概率密度函数).(yfY.Y的分布函数为}1{}1{}{)(33yXPyXPyYPyFY])1[(1}1{33yFyXPX所以Y的概率密度函数为])1][()1[()()(33yyfyFyfXYY)(y32321113])1[()1(3yyyfyX)(y【解】会求连续型随机变量函数的分布课堂练习题1.从编号为1,2,…,9的九个球中任取三个,试求所取三球的编号数依大小排列位于中间的编号数的分布律.答:X234567884784128415841684158412847kp2.设某汽车站在某一时间区间内候车人数服从参数为5的泊松分布.求(1)候车人数不多于2个的概率;(2)候车人数多于10人的概率.答:013695.0}{1)2(,124.0237)1(1005kkXPe3.已知随机变量X的概率密度函数xexfx,21)(求X的分布函数F(x).0,10,)(2121xexexFxxdtedttfxFtxx21)()(xtxedtexFx2121)(,0时当xtxtedtedtexFx210210211)(,0时当【解】4.设X的分布函数为求X的分布律.【解】X-113.3,1,31,8.0,11,4.0,1,0)(xxxxxFp0.40.40.2(D)5.设随机变量X的分布函数为FX(x