概率论--特征函数与极限定理

特征函数引进特征函数的目的在于有些问题用分布函数不好解决，比如计算随机变量的矩以及对立随机变量和的分布.使用特征函数就会特别方便，在极限理论的研究中也发挥了很大作用。如以前我们讲过随机变量X＋Y的分布函数求法过程比较复杂，实际上经常碰到求X1+X2+X3+…+Xn的密度函数，重复使用卷极公式，非常繁杂。0.复随机变量的定义相互独立，就称复随机如果相互独立.变量设是定义在概率空间随机变量，则称为复随机变量。上的实1、特征函数的定义设的分布函数为称为X的特征函数。对每个随机变量X（或者说每个分布函数F(x)）,都有一个特征函数f(t)与之一一对应。cossinitxetxitx2.特征函数的性质设是X的特征函数，则2)特征函数在R上一致连续3)特征函数是非负定的，即对任意实数及复数证明4）设是常数，则5)随机变量相互独立，则此性质可推广至多个随机变量相互独立，则6）设随机变量则它的特征函数可微分n次，且特征函数提供了一条求各阶矩的捷径。7）唯一性定理：分布函数由其特征函数唯一确定。相应的分布函数F(x）可导且导函数连续，则有构成傅里叶变换对1）．二项分布参数为X的分布律3常见的几个分布的特征函数2）．泊松分布：分布律参数为密度函数3）．指数分布：参数为4）．正态分布：密度函数参数为特征函数)(~22n4）．卡方分布的特征函数：某些独立随机变量的分布函数的可加性可用特征函数证明：如：二项分布，泊松分布，正态分布，卡方分布均具有可加性。例题若且相互独立则=11~(,),(1,2)~(,)iiinniiiiXBnpXinYXBnp证明因为则相互独立~(,),()()(1,2)iiiinitXXBnpftpeqin=1()()()iinnnititYiftpeqpeq在由唯一性定理得到1~(,)niiYBnp极限定理•一随机变量的收敛性•二大数定律与中心极限定理1、依概率收敛为随机是随机变量序列，设定义XXn}{，有变量，若对任意实数01limXXPnn.}{XXXXPnn，记作依概率收敛于则称一随机变量的收敛性2、依分布收敛),()(limxFxFnn分别是随机变量，定义：设)(,,2,1)(xFnxFnxXnXn连续点的分布函数，若对及),2,1(.}{XXXXLnn，记为依分布收敛于则称并不需要定义在共同的注：对于分布收敛，}{nX而是敛的并不是概率空间。实际上，收},{nX}.{}{nnFX分布函数3、r-阶收敛,2nnXEXX，有及设对随机变量定义,0lim2XXEnn.}{XXn均方收敛于则称如果,2XE其中更一般地，设,,rrnXEXE,0limrnnXXE,}{XrXn阶收敛于则称为常数，如果0r.XXrn记作1-阶收敛又称为平均收敛，2-阶收敛即为均方收敛。4、以概率1收敛，（简记为若定义1)}()(lim:{XXPnn..XXXXsan，记作随机变量（或几乎处处）收敛于1}{,1}lim{以概率则称随机变量序列）nnnXXXP四种收敛关系：以概率1收敛或r-阶收敛依概率收敛依分布收敛二、大数定律与中心极限定理研究两类问题：（大数定律）（中心极限定理）为相互独立的随机变量序列（2）n充分大时，服从什么分布？（1）是常数序列，是随机变量序列，设}{}{knaX有若对任意实数,0定义,11lim1nknknaXnP,011PnnkkaXn即服从大数定律。则称}{nX1、大数定律定理一（切比雪夫大数定律）量，且具有相同的数学期望和方差设为一列相互独立的随机变即定理二（辛钦大数定律）为一列相互独立同分布的随机变量，且具有相同的数学期望即设在定理一中,去掉方差存在的条件而加上相同分布的条件，则有：定理三（伯努利大数定律）设事件在每次试验中出现的概率为p,在n次重复独立试验中出现的频率为即且理论上给出了在大量重复实验下,事件A的频率依概率收敛于它的概率p.定理四(马尔可夫大数定律)是随机变量序列，设}{kX0)(1lim12nkknXDn若服从大数定律。则}{kXnknkkkEXnXnP1111证明由切比雪夫不等式即得所证结果.,)(11212nkkXDn例1如何估计一大批产品的次品率？解抽取n件产品，为其中次品的件数。设A为事件“任取一件为次品”，记由伯努利大数定律知当n很大时，可取作为次品率的估计值。2、中心极限定理的随机变量，且具有数学期望和方差，定理1（独立同分布的中心极限定理）任意实数有其中为标准正态分布的分布函数。设为一列相互独立相同分布则对于其中为标准正态分布的分布函数。定理2（德莫佛—拉普拉斯），则对于任意实数x，有设定理3(李亚皮诺定理)差，具有有限数学期望和方是独立随机变量序列，设}{k,,2,1,,2kDaEkkkk即若存在记,122nkknB时使得当n,0,01122nkkknaEB有则对于任意的x).()(1lim1xxaBPnkkknn