第九章 截面的几何性质

1dAyzy王玲第九章截面的几何性质2第九章截面的几何性质•截面积A、极惯性矩Ip等从不同角度反映了截面的几何特性，称它们为截面的几何性质。•截面的几何性质包括：•9.1静矩和形心•9.2惯性矩和惯性半经•9.3转轴公式、主惯性轴•9.4平行移轴公式39.1静矩和形心•一静矩dAyzy厚度t极小的薄片如图，面积为A，在图形所在平面内建立坐标系，取dA微面积，zdA和ydA分别称为微面积dA对y轴和z轴的静矩，则定义：AAABzdASydAS4•二截面的形心9.1静矩和形心dAyzyCyCzC截面的形心即截面图形的几何中心，均质等厚薄板形心与重心重合，其坐标为：或者若则59.1静矩和形心•组合截面的静矩：组合截面的形心niiniiiCAAz11z69.1静矩和形心•例9.1求图中所示T型图的形心位置解：（1）选参考轴y－z，其中z为对称轴（2）将图形分为1、2两部分（3）求形心mmAAZAzAAzAziiic3.103140201002070140201501002021221179.1静矩和形心•例9.2截面图形的尺寸如图，求其形心位置解：（1）选参考轴y－z，其中z为对称轴（2）图形可看作矩形减去圆形面积（3）求形心mmAAZAzAAzAziiic7.442010060)30100(205010060222122118dAyzy•一惯性矩9.2惯性矩和惯性半径设任一图形，面积为A，在（y,z）处取一微面积dA，z2dA，y2dA和2dA，分别称为微面积dA对y轴和z轴的惯性矩和极惯性矩=惯性矩惯性矩极惯性矩9•例9.39.2惯性矩和惯性半径dzdA解：取微小单元dA109.2惯性矩和惯性半径•例9.4求圆环形截面对其形心轴的惯性矩。解：I21IIzy119.2惯性矩和惯性半径•二惯性半径•在材料力学中，有时将惯性矩表示为截面面积A与某一长度平方的乘积，式中iy和iz分别称为截面对y轴和z轴的惯性半径。2yyAiI2zzAiIAIiAIiyyzz12•例9.5求矩形截面和圆截面对y、z轴的惯性半径。9.2惯性矩和惯性半径139.2惯性矩和惯性半径•例9.5求矩形截面和圆环截面对y、z轴的惯性半径。1212/3hbhbhAIiyy解：对矩形截面1212/3hbhbhAIiyy1212/3bbhhbAIizz12hb32zzAiI12bh32yyAiI149.2惯性矩和惯性半径解：对环形截面44/)(64/)(222244dDdDdDAIIizzy•例9.6求圆环形截面对其形心轴的惯性半径。15•惯性积：yzdA称为微面积dA对y、z轴的惯性积•主轴：使截面惯性积为0的一对正交坐标轴简称为主轴•形心主轴9.3主轴的概念dAyz只要截面有一根对称轴，截面对包括此轴在内的一对正交坐标轴的惯性积就恒等于0无对称轴截面也存在主轴169.4平移轴公式•已知面积A，形心为C点，对形心轴的惯性矩为Iyc，Izc，，求与形心轴平行的y，z轴的惯性矩。byycbyycazzc解：ACAydAazdAzI22)(AAACcdAadAzadAz222因为0ACdAzAdAA所以AaIIycy2179.4平移轴公式•已知面积A，形心为C点，对形心轴的惯性矩为Iyc，Izc，，求与形心轴平行的y，z轴的惯性矩。byyc解：类似地ACAzdAbydAyI22)(AAACcdAbdAybdAy222AbIAbIzczc220189.4平移轴公式平移轴公式AbIIzcz2AaIIycy2)(2iiizczizAbIII)(2iiyciyiyAaIII组合平移轴公式199.4平移轴公式)(2iiyciyiycAaIII20100)3.103150(122010023例9.7求T形截面对其形心YC的惯性矩Iyc解：（1）确定形心位置，zC＝103.3mm（2)求Iyc20100)3.103150(12201002314020)703.103(12140202346101.12mmY209.4平移轴公式例9.8求截面对其形心轴YC的惯性矩Iyc（1）确定形心位置，zC＝44.7mm解：（2)求Iyc)(2iiyciyiycAaIII10060)7.4450(121006023440)7.4470(6440224461024.4mmY