09微积分龚漫奇讲座(北京交通大学)

09微积分辅导讲座(龚漫奇)一、数学解题的唯一工具“等式代换，其他照抄”即已知“口=O”时，可用“口”换“O”，其他照抄。等式=公式,要背。代换,要用换元(数学最大的技巧),换元=把反复出现的一团东西用一个字表示。照抄,少错是素质)3(,cos,1:1222期中卷，五求例dxydtytxtttxtdxdydxydxydxdy/22解)1(10)1(),()ln(:22222期中卷，五求定例xdxydyxyyyxxy)3(),(ln2:342期中卷，一求定例dxdyxyyxyyxxyxF）（）（0),(,0),(00yyyxF解出由0),(:yxF已知解法”“含解出yxyx,xxxxyxF）（）（0),(”“含解出xxxyyxy,,”“含)(,,)(0000xyyxxyxxx基本公式基本方法导数公式P87-3.”“含000,)(yxxyx”“含用上yxyx,)(期中卷分析:难度_稍难;计算量_太大.较易题(双基类):一、2,3,6,8,10；二、3,4,5,9；三、1,2,3；四、1,2；五、1,3；六、2；十二(共44分)微难题(加初数):一、4,5；二、1,2,7,8；七、九(共24分)中难题():一、1,7,9；六、1；八、1；十、十一(共22分)高难题():二、5,10；五、2；八、2；(共10分)数学(适合)复习方法:先做卷子(不要先看书),不看答案,卡着时间.发现问题仔细搞懂,尤其看是否双基.参考资料1.电子资料:参考卷(手写后照片(G1到G4,期中1份,期末1份.本讲座讲稿,在本电脑.想要的课后到前面复制).2.参考书.本校出版社(在东区最高楼7层)的《微积分辅导》上、下，《全国研究生入学考试数学复习指南》例4:已知f(x)的导数是sinx,则f(x)的原函数(不要遗漏)=?解:所求=?-sinx+C?错!拍脑袋做题法不行正解:先把语言翻译成数学语言(如等式)-常用,sin)(xxf已知所求=dxxf)(dxOOx口口再背移项公式:dxxxfsin)(1cosCx所求=dxxf)(dxCx)cos(1为任意常数）2121,(sinCCCxCx类似题=教材P52-6,已知f在0连,证f在R连）例（3172P二、用微分基础理论“利用f导数的正负确定f的增减,可得f的草图,故可知f的极值,最值,值域,不等式,f(x)=0有几个根,等”,造辅助函数H(x)求解的题型.先简述下面。1、证恒等式：2、证3、证不等式：4、求方程“左=右”的根的个数。左=右。令H(x)=左-右,再用基础理论。也可将“左=右”做恒等变形(如乘除移项,两边取ln等)再做令H(x)=).()(),(右使：左bax换右左)(接着背0点定理.或令H(x)=左右。令H(x)=左-右,再用基础理论。dxx换右左)(接着背罗尔定理.令H(x)=左-右,再用基础理论。也可将“左=右”做恒等变形再做(下同)(画草图的描点法:先找到函数单调区间的端点,再画端点对应的点,最后将画出的点单调连线)例5(教材P131-14):已知f(0)=1,且xexfxfxfRx)()()(,，证明(用前面)1、证恒等式：左=右。令H(x)=左-右,再用基础理论。也可将“左=右”做恒等变形(如乘除移项,两边取ln等)再做[令H(x)=左-右=?]0)()()()(xxexfxHexf证：xexf)(将做恒等变形(乘除移项):1)(xexf)(,xHRx则1)()(xexfxH右左再令)]()([0)()()()(2xfxfeexfexfxHxxx01]/)0([)0(0,)(0efHCxCxH令则.,0)(得证右左CxH例6(期中卷十):论证.的大小与ee分析:即证.),(ee下略或)(,见上故需证注意到e):(eee时当这很象证函数不等式,所以改证exxeex:时当用前面3、证不等式：左右。令H(x)=左-右,再用基础理论。也可将“左右”做恒等变形(如乘除移项,两边取ln等)再做(此思想类似题见《微积分辅导》P243)xeex1故可证:时当ex)(lnln:见期中卷答案时当exxeex或证,时则当ex1)(xeexxH左右令0)()()()(2121xxexxexeexeexeexeexxH0)()(eHxHHex时则当eexexxexH得令左右,0)(证：二、用微分基础理论,造辅助函数H(x)求解的题型.2、证令H(x)).()(),(右使：左bax换右左)(,接着背0点定理.或令H(x)=dxx换右左)(接着背罗尔定理.也可将“左=右”做恒等变形再做(下同)下面着重介绍上述“变形”的一个方法：分离变量法以及相应的去“ln”用的分离变量法:把f’(x),f(x)放在等号的一边[f’(x)放在分子上];x放在等号的另一边)1,0(,0,0)1(71证，：设例bfCf0)()()(fbaf使])(exp[)(dxxHx换右左后分离变量换分析x:xbaxxfxf)()(])(exp[)(dxxHx换右左axbexxfdxxbaxxfxf)(]))()((exp[[例7=P186-4(2)书错,缺f(1)=0]xex)exp(,证:令axbexxfxH)()((下面背罗尔定理)因为H(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,H(0)=H(1)=0ababebfefH1)()(0)()1,0(使0)(aefab所证0)]()()([1fbafeba证令H(x)).()(),(右使：左bax换右左)(,接着背0点定理.或令H(x)=dxx换右左)(接着背罗尔定理.也可将“左=右”做恒等变形再做(下同)下面着重介绍上述“变形”的一个方法：分离变量法以及相应的去“ln”用的分离变量法:把f’(x),f(x)放在等号的一边[f’(x)放在分子上];x放在等号的另一边(例8=期中卷十一题)),(),()(82babfafCf证，：设例bff)(2009)(使])(exp[)(dxxHx换右左后分离变量换分析x:xbxfxf2009)()(])(exp[)(dxxHx换右左2009))((])2009)()((exp[xbxfdxxbxfxfxex)exp(,证:令(下面直接背罗尔定理不行,因为H(b)=0,而H(a)=?应想0)()(),()()(fbababfaf使由罗尔定理),(0)()(,),(,],[)(bbHHbbxH可导在连续在0)()(),(Hbaba使2009))(()(xbxfxH要用f(a)=f(b)0)(f0)(H)(bH得证）0)(H所证111xxxf)()(例9:已知,求x0时,f的单调区间,值域,值域对应的不等式.微积分基础理论“利用f导数的正负确定f的增减,可得f的草图,故可知f的极值,最值,值域,不等式.”xxxxxf111111)ln()()(解:0?0?xxxxxgx11111010)ln()()(,令时）（时，1120xxxgx)(0xxgx00注意单增时.)(,01011)ln()()()(gxgg01011)()()(xgxfxxx时，所以f的单减区间为).,(0故值域为)).(),((0ff其中,)()(lim)(efxxxx1111100110)()(f值域结果为).,(e对应的不等式为1110xxex)(,时(提出恒正因子是解这类难题的关键)三、极限计算.(见P135图3-6)步1,代值定型如为定式则结束,否则转步2步2,变形为或(见P137圈3,P134的6行).步3,洛必达法则,转步1.其他方法:“分出可算部分先算”的思想、极限换元、等价替换乘除因子、凑导数或定积分定义、利用小“o”泰勒公式,等。00;11,(nxunx或令时或),axuax令时例不不非行不不非不不有界，如的运算不有界下初边连续；.)/(1),14137(0,,000/1.,,,0,]3[;2290]2[]1[PP?)(sin:必然发散吗问数列例Rnn.0sin,0,00,0)/(1)(,)(:否时有界解负正nn例10(期中卷三):;lnln)()(lim,)(,0.12abafbfaafabab求设解:1.极限变量是.)sin(sinsin1lim.3;11)1(lim.23/10220xxxxxxxxex求求而时,0)sin(sinsin,0.3xxxLim下边,箭头左边的字母,余为常数.(算完它消失)这样3个题需算的3个极限都可用:代值,(不化减)洛必达;代值,(不化减)洛必达;….反复计算可得,题123用123次.题1的正解是用“凑导数定义法”见期中卷答案.题23可用“提出可算部分先算法”方法见下例,具体过程见期中卷答案30331lim110101lim1limxxxxxxe口口口口口所求axafxfaxlnln)()(lim所求故exx口口时口/1)1(,0)sin(sinsin303030)sin(sinsinlim1)sin(sinsinlim1limxxxxxxxxxx口其中?3换元题3/1)(0)/1(0)(lim00aaafxxfax(条件事)(法2见期中卷答案)xuxxsinsin，再做换元换为先把分母的例11:求xxx2201cotlim三、极限计算.步1,代值定型.步2,变形(多法略).步3,洛必达法则,转步1解:原=(为代值)xxxx22201sincoslim)(0101[所以要用应背的变形法:]0000000101211221故,原=00222220xxxxxxsincossinlim]~sin,[xxx0[(问分子的sinx可换x吗?原=42220xxxxxcossinlim32204222xxxxxxxxx)sin(coscoscossinlim[下面介绍一种解难题的思想“分出可算部分先算”]相应的极限公式(应背见P137)为:)(lim)]()([lim,)(lim)(xgAxgxfAxfxxx000则如)(lim)]()([lim,)(lim)(xgBxgxfBxfxxx0000则如续,原=(分乘部分)01coslim)(0xx32042221xxxxxxxsincossinlim续,原=()214sin2lim)(320xxxx分加部分2142230xxxxxcossinlim0032-毛思](教材P137-18):211222220xxxxxx)sin(coscoslim211220xxxsinlim不行):]例12(期中卷八