二次型的矩阵表示

1第一节二次型的矩阵表示一、二次型的定义二、二次型的矩阵表示三、非退化线性替换四、矩阵的合同2©2009,HenanPolytechnicUniversity2§1二次型的矩阵表示第五章二次型一、二次型的定义1.问题的引入在解析几何中，一个有心二次曲线的一般方程是当坐标原点与中心重合时，为了便于研究这个二次曲线的几何性质，择适当的角度θ作转轴（反时针方向转轴）可以选cossincossinxxyyxy222axbxycyd3©2009,HenanPolytechnicUniversity3§1二次型的矩阵表示第五章二次型把方程化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况.从代数的观点看，所谓化标准方程就是对二次齐次多项式，作适当的非退化线性替换,22axcyd平方项的多项式。使它化为只含4©2009,HenanPolytechnicUniversity4§1二次型的矩阵表示第五章二次型2、二次型的定义称为数域P上的一个n元二次型．①212111121211(,,,)22nnnfxxxaxaxxaxxn个文字的二次齐次多项式12,,,nxxx,,1,2,,,ijaPijn2222222nnaxaxx2333332nnaxaxx2nnnax设P为数域，5©2009,HenanPolytechnicUniversity5§1二次型的矩阵表示第五章二次型•二次齐次多项式(二次型):•三次齐次多项式(三次型):zyzx2337323121232221xxxxxxxxx4844232221yyy455232221zzz6©2009,HenanPolytechnicUniversity6§1二次型的矩阵表示第五章二次型注：2)式①也可写成21211(,,,)2nniiiijijiijnfxxxaxaxx1)为了计算和讨论的方便,式①中的()ijxxij系数写成2.ija例如2221121222333243xxxxxxxxx就是有理数域上的一个三元二次型。7©2009,HenanPolytechnicUniversity7§1二次型的矩阵表示第五章二次型约定①中②二、二次型的矩阵表示212111121211(,,,)nnnfxxxaxaxxaxx2212122222nnaxxaxaxx21122nnnnnnnaxxaxxax11ijnnijijaxx1)用和号表示(),ijjiaaij,ijjixxxx由有8©2009,HenanPolytechnicUniversity8§1二次型的矩阵表示第五章二次型2)用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111nnxxaxaxxa222222122121122nnnnnnnaxxaxxax1122()nnnnnnxaxaxax11111221()nnxaxaxax22112222()nnxaxaxax9©2009,HenanPolytechnicUniversity9§1二次型的矩阵表示第五章二次型11112212112222121122(,,,)nnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxxxxaxaxaxnnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,,,10©2009,HenanPolytechnicUniversity10§1二次型的矩阵表示第五章二次型TfXAX11121121222212,,nnnnnnnaaaxaaaxAXaaax二次型可表示为,,1,2,,,ijjiaaijnAA因为所以矩阵A称为二次型的矩阵.TfXAX11©2009,HenanPolytechnicUniversity11§1二次型的矩阵表示第五章二次型例1二次型2221231231213(,,)234fxxxxxxxxxx用矩阵可表示为1123123231122(,,)(,,)2201032xfxxxxxxxx1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即.AA注：2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即若且，则XAXXBX,AABB.AB12©2009,HenanPolytechnicUniversity12§1二次型的矩阵表示第五章二次型若A,B都是实对称矩阵,且对应的二次型相同，即证先取x为单位向量ei=(0,,1,,0)T(第i个分量为1,其余为0)，代入上式得aii=bii(i=1,2,,n)ninjjiijxxaxx11TAxxxxbninjjiijBT11再取x为向量eij=(0,,1,,1,,0)T(第i,j个分量为1,其余为0)，代入上式得aij=bij(ij)则A=B所以A=B13©2009,HenanPolytechnicUniversity13§1二次型的矩阵表示第五章二次型例21）写出二次型所对应的矩阵。2）写出矩阵所对应的二次型。22123112233,,23fxxxxxxxxx123202321A14©2009,HenanPolytechnicUniversity14§1二次型的矩阵表示第五章二次型11031023012B解1）原二次型所对应的对称矩阵为：2212311213233,,464fxxxxxxxxxxx2）矩阵对应的二次型为：15©2009,HenanPolytechnicUniversity15§1二次型的矩阵表示第五章二次型例3指出下列二次型的矩阵3）复数域C上的4元二次型它们的矩阵分别是：2）实数域R上的3元二次型222faxbxycy222,)123112132233(,246537fxxxxxxxxxxxx2)12341214223(,,,35(3)fxxxxixxxxxixx,abbc323222325,3732232232320050.000000iiii1）实数域R上的2元二次型16©2009,HenanPolytechnicUniversity16§1二次型的矩阵表示第五章二次型三、非退化线性替换1、定义：是两组文字,，关系式③1212,,,;,,,nnxxxyyy11111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy,,1,2,...ijcPijn称为由的一个线性替换;1212,,,,,,nnxxxyyy到17©2009,HenanPolytechnicUniversity17§1二次型的矩阵表示第五章二次型注：1）③或④为非退化的为可逆矩阵.ij=cnnC1112111222122212......,,...nnnnnnnncccxyxycccXYCxyccc令则④为非退化线性替换.2）若为非退化线性替换，则有非退化XCYXCY则③可表示为④1.YCX线性替换||0,C若18©2009,HenanPolytechnicUniversity18§1二次型的矩阵表示第五章二次型即，B为对称矩阵.2、二次型经过非退化线性替换仍为二次型BCAC令————————————————||0CXCY事实上，12(,,...,)nfxxxXAX()BCACCACCACB又()YCACY()()CYACY12(,,...,)nYBYgyyy12(,,...,)nYBYgyyy是一个二次型.12,,,nyyy19©2009,HenanPolytechnicUniversity19§1二次型的矩阵表示第五章二次型四、矩阵的合同1）合同具有对称性：反身性:注:1、定义：设，若存在可逆矩阵,nnABP使，则称A与B合同.,nnCPBCACAEAE,||0BCACC11()()ACBC20©2009,HenanPolytechnicUniversity20§1二次型的矩阵表示第五章二次型传递性:112212,,||0,||0BCACDCBCCC2112()DCCACC1212()()CCACC1212||||||0,CCCC即C1C2可逆.2）合同矩阵具有相同的秩.C可逆()()BA秩秩,BCAC3）经过非退化线性替换，新二次型矩阵与原二次型矩阵是合同的.21©2009,HenanPolytechnicUniversity21§1二次型的矩阵表示第五章二次型例2证明：矩阵A与B合同，其中1122,iininAB,12,,,niii是1,2,,n的一个排列.证：作二次型222121122(,,,)nnnfxxxXAXxxx22©2009,HenanPolytechnicUniversity22§1二次型的矩阵表示第五章二次型故矩阵A与B合同.1212niiniyxyxyx对作非退化线性替换12(,,,)nfxxx122222121(,,,)nnniiifxxxXAXyyy则二次型化为（注意的系数为）jixjiYBY