4_2方阵的相似对角化

《线性代数》下页结束返回§4.2方阵的相似对角化一、相似矩阵及其性质二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页《线性代数》下页结束返回一、相似矩阵及其性质定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.例如，5-131A=0-240B=，，1-511P=，因为1-511-11-5-116=-—P-1AP5-1311-5112-2-20-416=-—012-240=-—160-240=，所以A~B.相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足自反性：A~A对称性：若A~B，则B~A传递性：若A~B，B~Ｃ，则A~Ｃ下页《线性代数》下页结束返回定理1如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.证明：因为P-1AP=B，A与B有相同的特征多项式，|lE-B|=|P-1(lE)P-P-1AP|=|lE-P-1AP|=|P-1(lE-A)P|=|P-1||lE-A||P|=|lE-A|，所以它们有相同的特征值.一、相似矩阵及其性质定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.下页《线性代数》下页结束返回相似矩阵还具有下述性质：(1)相似矩阵有相同的秩；(2)相似矩阵的行列式相等；(3)相似矩阵的迹相等；定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.一、相似矩阵及其性质定理1如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.(4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.下页《线性代数》下页结束返回例1.若Ａ＝xy3122与Ｂ＝4321相似，求x，y．解：由于A和B相似，所以tr(A)=tr(B),|A|=|B|,即22+x=1+422x-31y=4-6解得：x=-17,y=-12例2.设3阶方阵A相似于矩阵-=300022011D，求A．解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|,即|A|=|D|＝12.下页《线性代数》下页结束返回定理2n阶矩阵A与n阶对角矩阵L=diag(l1,l2,,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.必要性，设存在可逆矩阵P=(x1,x2,,xn)使P-1AP=L，则有可得Axi=lixi(i=1,2,,n).因为P可逆，所以x1,x2,,xn都是非零向量，因而都是A的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.l1000l2000lnA(x1,x2,,xn)=(x1,x2,,xn)，证明：=(l1x1,l2x2,,lnxn)二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页(Ax1,Ax2,,Axn)《线性代数》下页结束返回定理2n阶矩阵A与n阶对角矩阵L=diag(l1,l2,,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.证明：充分性，设x1，x2，，xn为A的n个线性无关特征向量，它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有Axi=lixi(i=1,2,,n).令P=(x1,x2,,xn)，则=(l1x1,l2x2,,lnxn)=A(x1,x2,,xn)=(Ax1,Ax2,,Axn)AP=(x1,x2,,xn)l1000l2000ln=PL.因为x1,x2,,xn线性无关，所以P可逆.用P-1左乘上式两端得P-1AP=L，即矩阵A与对角矩阵L相似.下页《线性代数》下页结束返回定理2n阶矩阵A与n阶对角矩阵L=diag(l1,l2,,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.例如，矩阵A=有两个不同的特征值l1=4，l2=-2，1-511其对应特征向量分别为x1=，x2=.11-51取P=(x1,x2)=，则1-511所以A与对角矩阵相似.P-1AP-11-5-116=-—5-1311-5110-240=，问题：若取P=(x2,x1)，问L=？-L4002＝答案：下页《线性代数》下页结束返回推论若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则A与对角矩阵L=diag(l1,l2,,ln)相似.定理2n阶矩阵A与n阶对角矩阵L=diag(l1,l2,,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.注意A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件，而不是必要条件.且有Ax1=-2x1，Ax2=x2，Ax3=x3，向量组是A的线性无关的特征向量.所以当P=(x1,x2,x3)时，有例如，A=，x1=，x2=，x3=，4-3-36-6-5010-111-201010P-1AP=diag(-2,1,1).下页《线性代数》下页结束返回A=163-3-6-5343（1）解：(1)矩阵A的特征方程为l-1-6-336l+5-3l-4-3=|lE-A|矩阵A的特征值为l1=l2=-2,l3=4，对于特征值l3=4，解线性方程组(4E-A)x=o，得其基础解系x3=.112对于特征值l1=l2=-2,解线性方程组(-2E-A)x=o，110-101得其基础解系x1=及x2==(l+2)2(l-4)=0，（2）-11-4B=103020下页例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似求可逆矩阵P，使P-1AP=L.《线性代数》下页结束返回由于A有3个线性无关的特征向量x1，x２，x３，所以A相似于对角阵L.所求的相似变换矩阵为：P=(x1，x２，x３)=101-110121对角阵为：L=-20000-2040满足P-1AP=L.例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似求可逆矩阵P，使P-1AP=L.A=163-3-6-5343（1）（2）-11-4B=103020下页《线性代数》下页结束返回解：(2)矩阵B的特征方程为l+1-14-10l-30l-20=|lE-B|=(l-2)(l-1)2=0，矩阵B的特征值为l1=l2=1,l3=2.对于特征值l1=l2=1,解线性方程组(E-B)x=o，得其基础解系x1=，12-1对于特征值l3=2，解线性方程组(2E-B)x=o，得其基础解系x2=.001A=163-3-6-5343（1）（2）-11-4B=103020显然，B不能相似于对角阵.下页例3.判断下列矩阵是否相似于对角阵,若相似求可逆矩阵P，使P-1AP=L.《线性代数》下页结束返回例４．设矩阵Ａ与Ｂ相似，且Ａ＝----x33242111,Ｂ＝y00020002（１）求x，y的值；（２）求可逆矩阵Ｐ，使Ｐ-１ＡＰ＝Ｂ.解：解题要点由A和B相似得：tr(A)=tr(B)[迹]|A|=|B|5+x=4+y6x-6=4y解之得：x=5,y=6个对角阵，可得A的特征值是l1=l2=2,l3=6对于特征值l1=l2=２,解线性方程组(２E-A)x=o，-110101得其基础解系x1=及x2=对于特征值l3=6，解线性方程组(6E-A)x=o，得其基础解系x3=，1-23由于A和B相似，且B是一所以--=310201111P下页《线性代数》下页结束返回例５．设３阶方阵Ａ满足,,0,33211-===AAA其中TTT)1,0,0(,)1,1,0(,)2,2,1(321=-==，求Ａ和5A．解：由A1=1,A２=０,A３=-3可得；l１=1，l２=0，l３=-1是A的特征值，1，２，３是A对应于上述特征值的特征向量.容易验证1,２,３是3阶方阵A的3个线性无关的特征向量，所以A相似于对角阵为L＝diag(1,0,-1)取P＝(1,２,３)则有P-1AP=L，所以A=PLP-11112012001100000001112012001----=--=116002001A5=PL5P-1=PLP-1=A.下页《线性代数》下页结束返回作业：P142页9(2)(3)101113结束《线性代数》下页结束返回推导l1000l2000ln(x1,x2,,xn)=(l1x1,l2x2,,lnxn)111212122212.....................nnnnnnxxxxxxxxx=l1000l2000ln返回=111lx121lx11lxn212lx222lx22lxnnnlx1nnlx2nnnlx