3-8 消除和减少稳态误差的办法

下面我们来复习单位阶跃信号、单位斜坡信号、恒加速度信号分别作用于0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统时的稳态误差的终值。)(sse)(1)(ttr一、根据公式)()(11lim)(lim)(00sRsGsssEessss3-6.3不同类型系统的稳态误差)0(11)(0lim11)(110lim1)(110limGsGssGsssGss引入静态位置误差系数（开环位置放大倍数）pK)0()(lim0GsGKsppssKe11)(→（表系统的位置误差）1）对于0型系统KsTsTsTsTsssssKsGKnmssp)1()1)(1)(1()1()1)(1)(1(lim)(lim32132100Kess11)(→0型系统的阶跃响应由此可见0型系统在单位阶跃函数作用下存在稳态误差。如下图。2）对于Ⅰ型系统)()(11lim)(0sRsGsesss0)()()(0lim)()(110lim)(110limsMssNssNssNssMssGs对于Ⅱ型系统同样可得。因此在单位阶跃信号作用下，Ⅰ型、Ⅱ型系统的稳态误差为零。0)(sse二、ttr)()()(11lim)(0sRsGsesss201)(11limssGss)(0lim1ssGs引入静态速度误差系数（开环速度放大倍数）vK)(lim0ssGKsvvssKe1)(→（表系统速度误差）1）对于0型系统0)()(lim0sNsMsKsvvssKe1)(→2）对于Ⅰ型系统KsTsTsTsTssssssKssGKnmssv)1()1)(1)(1()1()1)(1)(1(lim)(lim32132100KKevss11)(→Ⅰ型系统对斜坡输入的响应由此可见，Ⅰ型系统对斜坡输入信号响应存在一个稳态误差。见下图。同理，我们可得对于Ⅱ型系统有0)(sse三、221)(ttr)()(11lim)(0sRsGsesss301)(11limssGss)(20lim1sGss引入静态加速度误差系数（开环加速度放大倍数）aK)(lim20sGsKsaassKe1)(（表加速度误差）→对于0型和Ⅰ型系统0aK)(sse→对于Ⅱ型系统KsTsTsTsTsssssKssGsKnmssv)1()1)(1)(1()1()1)(1)(1(lim)(lim32123212020Kess1)(→由此可见，Ⅱ型系统在跟踪恒加速信号时，有一恒定的位置误差。Ⅱ型系统对恒加速信号的响应221,),(1)(ttttrt将输入信号分别作用于0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统时所对应的稳态误差列表如下：例:某控制系统的结构图为试分别求出H(s)=1和H(s)=0.5时系统的稳态误差。12102ss)(sH)(sC-)(15)(ttr解:当H(s)=1时,系统的开环传递函数为则系统稳态误差当H(s)=0.5时,0,10,1210)(2ksssG115101510kRess3555.015.0121011lim)()(lim200sssssRssesersss若上例在H(s)=1时,系统的允许误差为0.2,问开环增益k应等于多少?当时,上例的稳态误差又是多少?因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大,根据叠加原理,ess=∞2412.051,100sssseRkkRe则1)(,21)(1)(2sHttttr方法二、长除法长除法：用误差传递函数的分子多项式除以分母多项式求误差系数。误差传递函数的分子、分母须排成s的升幂级数，然后再作除法。)(se3-6.4动态误差系数利用动态误差系数，可以求解输入信号为任意时间函数时的系统稳态误差。方法一、泰勒级数展开法例1设有一随动系统如图所示,已知及,试计算随动系统的稳态误差.ttr)()(1)(ttn思路分别求得控制信号的稳态误差和干扰信号引起的稳态误差,然后根据叠加原理求得系统总的稳态误差。为简化计算，采用长除法。第一步,令,求系统控制信号引起的误差0)(tn由图可得10)1)(102.0()1)(102.0()1(2102.0511)()()()(ssssssssssRssse302.0202.110302.0202.1ssssss用分子除以分母,作整式除法23232092.01.002.002.102.002.110ssssssss432002.0102.01.0)ssss432002.0082.092.0sss得出2092.01.0)()()(sssRsEsRe1.0)(092.0)(1.0)(...trtrtessr→)(stt第二步,令,求干扰信号引起的稳态误差0)(tr由图可得)1(2102.051)1(2)()()()()(ssssssNssNsEsNNen302.0202.110)04.02(ssss作整式除法sssss016.02.004.0202.002.1103232004.0204.02.02)sss32004.0204.016.0sss……已知,则)(1)(ttn0)(.tn2.0])(016.0)(2.0[)(.tntntessn→第三步,根据叠加原理,求系统总的稳态误差3.02.01.0)()()(tetetessnssrss例2调速系统的方块图如图3.6-3所示。图中K1=10，K2=2，，伏/（转/分）。试求（伏）时的稳态误差。1.005.0ck)(1)(ttr解对于非单位负反馈系统，我们先求系统的偏差由图可得)()(11)()()(21sGsGksRssc124.02107.0111sKsKck已知K1=10，K2=2，，伏/（转/分）将它们代入上式，并整理得1.005.0ck220168.031.01.10168.031.01)(sssss采用长除法得21.1008.01.103.01.11)(sss20073.00273.0909.0ss)(0073.0)(0273.0)(909.0)(2sRsssRsRs→进行拉氏反变换得...)(0073.0)(0273.0)(909.0)(trtrtrtss已知，代入上式得)(1)(ttr0)(.tr909.0)(tss又cksH)(8.18105.01.0909.0)()(cssssktte→G1(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G2(s)3-6.5扰动作用下系统稳态误差的分析理想情况下,系统对于任意形式的扰动作用,其稳态误差应当为0,即对于扰动信号N(s)而言,理想的情况就是扰动信号引起的输出为0,希望系统的输出一点都不受扰动的影响,实际上这是不可能的。如上图所示，如果输入信号R(s)=0,仅有扰动N(s)作用时,系统误差为:)()()()(1)(lim)()()()(1)()(2120212sNsHsGsGsGsesNsHsGsGsGsEsss扰动作用下的稳态误差,实质上就是扰动引起的稳态输出的负值,它与开环传递函数G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号N(s)有关,还与扰动作用点的位置有关。r(t)=0-C(t)12Tsk)(1)(0tMtn0ksk1(a)r(t)=0-C(t)12Tsk)(1)(0tMtn0ksk1(b)000210210021020)1(1)1(lim:)(0)1(11lim:)(kMsMTsskkkTsskksebsMTsskkkTskseassssss中中作用点不同,稳态误差也不同。在扰动作用点之前的前向通路中用一个积分环节用（比例积分调节器）代替)11(00sTk0kr(t)=0-C(t)12Tsk)(1)(0tMtn)11(00sTksk1(b)由此可得，干扰信号作用下产生的稳态误差除了与干扰信号的形式有关外，还与干扰作用点之前(干扰点与误差点之间)的传递函数的结构及参数有关，但与干扰作用点之后的传递函数无关。0)1()11(1)1(lim02100210sMTsskksTkTsskksesss则为系统对输入信号的误差传递函数,为系统对扰动信号的误差传递函数。则:例:已知系统的结构图如下,试求系统在输入信号r(t)=t和扰动信号n(t)=-1(t)同时作用下系统的稳态误差ess)(ser)]()()()([lim)(lim00sNssRssssEeenerssss)(sen解:理想情况偏差信号E(S)＝0，则系统在输入信号作用下的希望输出为：2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)12.01s)1(2ss)()(1)(sRsHsCr)()()(sHsCsRr对于扰动信号N(s)而言,理想的情况就是扰动信号引起的输出为0,即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输出为:G1(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G2(s)则R(s)和N(s)引起的系统误差为:)()()()(1)()()()()()(1)()()(212221211sNsHsGsGsGsCsRsHsGsGsGsGsC)(1)()()(11)()()()(])()()(1)()()(1[)()()(21212111sHsHsGsGssRssRsHsGsGsGsGsHscsCsEererr在本题中,首先要判断系统的稳定性,如果系统不稳定,不可能存在稳态误差。特征方程为:)()()()()()()()()()(1)()()()()()()()(1)()(0)(2121221222sNssRssEsEsEsHsGsGsGssNssNsHsGsGsGsCsEenerenen02)1(212.011)()()(121ssssHsGsG即:所以系统稳定。根据推导出的公式:0321238.02.1042.12.0aaaasss，即2)1(212.011)1(2)(212)1(212.0111)(ssssssssssener系统的误差与系统的结构有关,还与外作用(输入信号,扰动)的大小及形式有关。85)]()()()([lim)(lim1)()(1)(1)()(002sNssRssssEessNttnssRttrenerssss3-6.5减少和消除系统的稳态误差的办法1、提高系统的开环放大倍数。（矛盾：稳定性）)(sse2、增加系统的类型数当系统跟踪类型的信号时，系统的稳态误差等于零。iivitritr10!1)(证明：)()()()(11)()()(sMsNssNssGsRsEsvve)()()()()()()(sRsMsNssNssRssEvve设112210)!1(1!21)()(vvtrvtrtrrtr则vvsrsrsrsrsR132210)(利用终值定理得)(lim)(0ssEesss)()()(lim0sMsNssNssvvs)(132210vvsrsrsrsr=0因此对于形如的输入信号，可在系统的前向通道上串联个积分环节就可以消除稳态误差。