概率论与数理统计课件

概率论与数理统计2006-02-10第一章随机事件及其概率2020/1/19§1.1随机事件及其概率的统计定义一、概率论的诞生及应用1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(ac),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念─数学期望。概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律.概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域,例如天气预报,地震预报,产品的抽样调查;另外在经济、金融、保险；管理决策；生物医药；农业（试验设计等）等领域都有广泛应用.在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象“可导必连续”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象二、随机现象确定性现象的特征:条件完全决定结果在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.2.随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.实例3“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.实例2“用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况”.结果:“弹落点会各不相同”.实例4“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.其结果可能为:正品、次品.实例5“过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”.实例6“一只灯泡的寿命”可长可短.随机现象的特征:条件不能完全决定结果2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量重复试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.定义在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.三、随机试验说明1.随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”、或“测量”等.实例“抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况”.分析2.随机试验通常用E来表示.(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.2.“从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试验(2)试验的所有可能结果:正面，反面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验.3.记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.4.考察某地区10月份的平均气温.5.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.四、概率的统计定义１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次，A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率．随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投硬币实验，频率将稳定在1/2附近．３、统计概率：将事件A的频率的稳定值p作为事件A出现的可能性的度量，即P(A)=p为事件A的统计概率．统计概率的缺点：（１）需要大量的重复试验．（２）得到的是概率的近似值．§1.2样本空间定义1对于随机试验E，它的每一个可能结果称为样本点，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。所有样本点构成的集合称为E的样本空间或必然事件，用或S表示我们规定不含任何元素的空集为不可能件，用表示。P(Ω)=1,P()=0例１、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还是反面，则样本空间为：Ω={正面，反面｝或｛ω1,ω2}例２、设试验为从装有三个白球（记为１，２，３号）与两个黑球（记为４，５号）的袋中任取两个球．（１）观察取出的两个球的颜色，则样本空间为：Ω={ω00,ω11,ω01}ω00表示“取出两个白球”，ω11表示“取出两个黑球”，ω01表示“取出一个白球与一个黑球”（２）观察取出的两个球的号码，则样本空间为：Ω={ω12,ω13,ω14,ω15,ω23,ω24,ω25,ω34,ω35,ω45}ωij表示“取出第i号与第j号球”．注：试验的样本空间是根据试验的内容确定的！随机事件随机试验E的样本空间的子集(或某些样本点的子集），称为E的随机事件,简称事件.试验中,骰子“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”,“点数不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.例3写出掷骰子试验的样本点,样本空间,基本事件,事件A—出现偶数,事件B—出现奇数基本事件解：用表示掷骰子出现的点数为i;6,1,ii},,,,,{654321;6,,2,1,},{iiAii};,,{642A}.,,{531B小结随机现象的特征:1条件不能完全决定结果.2.随机现象是通过随机试验来研究的.(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.随机试验3.随机试验、样本空间与随机事件的关系随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件必然事件不可能事件是两个特殊的随机事件.),,(,,,的子集是而的样本空间为设试验21kABAEk1.包含关系若事件A出现,必然导致B出现,则称事件B包含事件A,记作.BAAB或实例“长度不合格”必然导致“产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格”.图示B包含A.BA§1.3事件的关系及运算一.随机事件间的关系若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,则称事件A与事件B相等,记作A=B.2.事件的和(并)}.|{.,,BeAeeBABABABA或，显然记作的与事件称为事件个事件至少发生一个”也是一“二事件和事件实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.图示事件A与B的并.BA;,,,,,,,至少发生一个即的和事件个事件为称nnknkAAAAAAnA212113.事件的交(积).ABBA或积事件也可记作.,,,,,至少发生一个即的和事件为可列个事件称21211AAAAAkk}.|{,,BeAeeBABABABA且，显然记作的与事件事件称为也是一个事件同时发生二事件积事件,推广图示事件A与B的积事件.ABAB实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.和事件与积事件的运算性质,AAA,A,AA,AAA,AA.A;,,,,,,,21211同时发生即的积事件个事件为称推广nnnkkAAAAAAnA.,,,,,21211同时发生即的积事件为可列个事件称AAAAAkk实例抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面”是互不相容的两个事件.4.事件的互不相容(互斥)若事件A、B满足则称事件A与B互不相容..ABBA“骰子出现1点”“骰子出现2点”图示A与B互斥AB互斥实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.说明当AB=时,可将AB记为“直和”形式A+B.任意事件A与不可能事件为互斥.5.事件的差图示A与B的差ABBABABBABA实例“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.A事件“A出现而B不出现”，称为事件A与B的差.记作A-B(或)BA若事件A、B满足则称A与B为互逆(或对立)事件.A的逆记作.A实例“骰子出现1点”“骰子不出现1点”图示A与B的对立.BA.ABBA且A6.事件的互逆（对立）对立若事件A、B满足则称A与B为互逆(或对立)事件.A的逆记作.A实例“骰子出现1点”“骰子不出现1点”图示A与B的对立.BA.ABBA且A6.事件的互逆（对立）对立二.事件间的运算规律.,)1(BAABABBA交换律),()()2(CBACBA结合律ACABCBAACABCABACBA)(,)()()()(分配律3.,:(4)BABABABA律对偶则有为事件设,,,CBA).()(BCACAB).)(()()()(CBCACBCACBAniiniiniiniiAAAA1111,.,,,,,2;,,2,1,,1,,,,,21210021完备事件组也称为的一个划分为样本空间则称　　　　　　若的一组事件为的样本空间为试验设　　定义nnjinAAAAAAnjiAAEAAAE三完备事件组1A2A3AnA1nA例1设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.(1)A出现,B,C不出现;(5)三个事件都不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;解CBA)(1;)(CABorCAB2;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA(6)不多于一个事件出现;CBAor);(CBAor;)6(CBACBACBACBAA)BA(AB等式运用事件运算关系证明例2则由于证明,BABAABAAB)(ABAAB)(ABBA)(AA逆分配律概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论样本空间,必然事件不可能事件基本事件随机事件A的对立事件A出现必然导致B出现事件A与事件B相等空间(全集)空集元素子集A的补集A是B的子集A集合与B集合相等四、小结BA事件A与事件B的差A与B两集合的差集AB事件A与B互不相容A与B两集合中没有相同的元素BA事件A与事件B的和A集合与B集合的并集AB事件A与B的积事件A集合与B集合的交集一.古典概型§1.4概率的古典定义１、定义如果一个随机试验E具有以下特征（1）、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；（2）、每个样本点出现的可能性相同。则称该随机试验为古典概型。设试验E的样本空间由n个样本点构成,A为E的任意一个事件,且包含m个样本点,则事件A出现的概率记为:2.古典概型中事件概率的计算公式.中样本点总数中样本点的个数AnmP(A)称此为概率的古典定义.3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)无放回地摸球问题1设袋中有M个白球和N个黑球,现从袋中无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?样本点总数为A所包含的样本点个数为解设A={所取球恰好含m个白球,n个黑球}nNmMCCnmNMCnmNMnNmMCCCAP/)(所以(2)有放回地摸球问题2设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.解},2{第三次摸到红球次摸到黑球前设A第1次摸球10种第2次摸球10种第3次摸球10种6种第1次摸到黑球6种第2次摸到黑球4种第3次摸到红球样本点总数为,101010103A所包含样本点的个数为,466310466)(AP故.144.04.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量不限制问题1把4个球放到3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.33334个球放到3个杯子的所有放法,333334种个2种24个2种22