交大附中数学组初高中衔接校本数学教材(最终稿)

交大附中新高一数学衔接校本教材初高中数学教材衔接的必要性与措施近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。仙桃市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。一、初高中数学知识“脱节”点1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。二、“脱节”知识点掌握情况调查高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：1．代数部分：]调查表明：代数部分，学生对“因式分解”、“二次根式”、“含参数的一元二次方程的根的分布”、“可化为一元二次方程的分式方程与无理方程”、“简单的二元二次方程组”的掌握情况表明“不好”的占20%以上。有15%左右的学生对用换元法解方程不是很熟悉。除“换元法解方程”与“简单的二元二次方程”外，50%左右的同学认为对其余部分掌握情况一般。几何部分，有20%以上的学生反应对“弦切角”定理、“切割线定理”不熟悉，16%左右的学生对“平行线分线段成比例定理”和“相交弦定理”掌握情况不好。超过50%以上的学生认为自己对几何部分掌握情况一般。调查了解，学生初中阶段对根与系数的关系接触很少，通过对这部分内容以及乘法公式、因式分解的有效训练，80%以上的学生认为有一些收获。以上数据表明，我们对初高中衔接内容的补充是有必要的，学生在补充学习的过程中得到收获也是必然的！三、初高中数学教材与教学特点（一）初高中数学教材特点：1．初中教材是九年制义务教育用书，倡导全面提高学生素质,只要求学生了解的内容多;高中教材是信息大集中，能力大发展，大学内容多下放的指导用书，对培养学生能力提出了较高要求。2．初中内容“浅、少、易”，与学生生活贴近,简单、具体形象；高中内容“起点高，容量多，难度大”，概括性、抽象性、逻辑性明显增强。（二）初中数学教学特点：1．从直观、形象、具体事例出发，概括出一般结论，然后师讲解典型例题，学生反复练习，直至掌握为止；2．教师牵着学生走，教师怎么教，学生怎么学，学生缺乏自主性，缺乏自学能力；3．学生上课或听、或思、或练，不会边听边做笔记，更不会自我归纳、总结；4．学生思维单一、解题缺乏严密的逻辑性，推理能力差，尤其对代数中字母的可变性缺乏理解，分类讨论的纯粹性，完备性把握不够。（三）高中数学教学特点：1．从特殊到一般，抽象性，概括性强；2．教师注重数学思想方法教学，要求学生举一反三，从典型例题中悟出一般解题规律，在理解的基础上形成解题技能；3．教师引导学生自学，让学生逐步养成独立思考，自我总结的良好习惯；4．要求学生上课必须手脑并用，学会边听边做笔记，养成错题自觉正误的良好习惯；5．要求学生思维广阔，考虑问题全面、深刻，全方位，多角度思考问题，善于从不同角度挖掘出问题的实质；6．注重严密逻辑推理，知识的深度、广度、难度、综合性明显加大。四、处理好“教材衔接”的几点措施1．编好、用好“衔接教材”，为学生顺利进入高中数学知识的学习扫清障碍针对初高中教材内容差异，市教科院已编写一本初高中数学“衔接教材”，并对何时补充什么内容作了安排。通过对“代数部分”一章的使用，学生初中基础知识得到进一步巩固，对高中教材适应力较上届明显增强。2．低起点、小步子、缓坡度、稳进度；夯实基础，降低难度，逐步提升在进行集合的基本概念，子、交、并、补的概念与性质教学后，我们补充了“乘法公式”一节，“因式分解”两节。在上“一元二次不等式解法”之前，补充“一元二次方程的根与系数的关系”“含参数的一元二次方程根的分布”各两课时，然后对含参数的一元二次不等式解法，一元二次方程、不等式与二次函数间的相互转化进行适当拓宽，并将集合知识运用到不等式中，逐步提升学生粗象、概括能力，培养学生转化、化归意识。3．适时进行学法指导，培养学生良好学习习惯教师在上课时，重点内容要指导学生做笔记、要求学生错题及时改正，揭示解题规律与方法，并小结应注意的问题，培养学生上课积极思考问题，作业独立完成，以及解后反思，章末小结的良好学习品质。4．教师上课教态应和谒，讲授基本概念与方法须耐心、细致，切忌急躁、冒进初中学生都是带着一种好奇与向往之心来到高中的。他们即使基础较差，但都渴望在高中阶段取得理想成绩。如果教师一开始讲授过快，过难，多数学生会跟不上，学生满腔的热情可能会因几次课听不懂，几次考试成绩不佳而降到“冰点”。因此，教师除“低起点，小步子”进行教学外，还应及时了解学生，多与学生沟通，正面鼓励学生，耐心、细致地为学生讲清基础知识与方法。5．进行题型归纳，加强规范训练，注重知识落实如上完“函数单调性”新课后，利用单调性定义判断、证明函数单调性应进行专题训练，掌握其基本步骤，再补充“复合函数单调性的判断与证明”、“闭区间上二次函数最值求法”、“粗象函数问题”三个专题，让学生掌握函数单调性典型例题与解法。在平时教学中教师要注重解题规范性与条理性训练，典型例题详细讲解，完整板书，做学生的典范。对学生演板和作业中不规范的地方，教师应及时指正，阅卷中应严格扣去不规范的分。教师布置的作业一定要检查，批改后及时反馈，教师讲得再好，学生练习不到位，就不能实现从“懂”到“会”的质的飞跃。6．严格控制考试难度，最大限度调动每个学生学习的积极性高一毕竟不同于高三，教师不能用高三的标准来要求高一的学生，不能一个知识点“一锹挖到底”，要循序渐进。高一教学重在培养学生良好学习习惯，培养学生分析问题，解决问题能力，把学生掌握“基础知识，基本方法”，放在首位。新课阶段每章最好采用“课本—资料—章末复习”三段式，考试应以考察学生对“基础知识、基本方法”掌握情况为主，大综合题少出或不出。每次考试难度系数控制在0.65为宜。亲爱的交大附中新高一的同学们：祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本交大附中新高一衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，一开学对这篇自学教材的学习将有相应的检测，愿大家为新学期做好准备。一、数与式的运算一）、必会的乘法公式【公式1】cabcabcbacba222)(2222证明：2222)(2)(])[()(ccbabacbacbacabcabcbacbcacbaba222222222222等式成立【例1】计算：22)312(xx解：原式=22]31)2([xx913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222xxxxxxxxxx说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】3322))((babababa(立方和公式)证明:3332222322))((bababbaabbaabababa说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算：（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3【公式3】3322))((babababa(立方差公式)1．计算（1）（3x+2y）（9x2-6xy+4y2）=（2）（2x-3）（4x2+6xy+9）=（3）)916141(31212mmm=（4）（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）=2．利用立方和、立方差公式进行因式分解（1）27m3-n3=（2）27m3-81n3=（3）x3-125=（4）m6-n6=【公式4】33322()33abababab【公式5】33223()33abaababb【例3】计算：（1）)416)(4(2mmm（2）)41101251)(2151(22nmnmnm（3）)164)(2)(2(24aaaa（4）22222))(2(yxyxyxyx解：（1）原式=333644mm（2）原式=3333811251)21()51(nmnm（3）原式=644)()44)(4(63322242aaaaa（4）原式=2222222)])([()()(yxyxyxyxyxyx63362332)(yyxxyx说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知2310xx，求331xx的值．解：2310xx0x31xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222xxxxxxxx说明：本题若先从方程2310xx中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0cba，求111111()()()abcbccaab的值．解：bacacbcbacba,,,0原式=abbacaccabbccba333()()()aabbccabcbcacababc①abccabccabbababa3)3(]3))[((32233abccba3333②，把②代入①得原式=33abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．二）、根式式子(0)aa叫做二次根式，其性质如下：(1)2()(0)aaa(2)2||aa(3)(0,0)ababab(4)(0,0)bbabaa【例6】化简下列各式：(1)22(32)(31)(2)22(1)(2)(1)xxx解：(1)原式=|32||31|23311*(2)原式=(1)(2