高等数学 张明望 7_4空间直线及其方程

目录上页下页返回结束第四节一、直线的点向式方程与参数方程二、直线的一般方程空间直线及其方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、点到直线的距离六、平面束方程目录上页下页返回结束zyx0x0yO),,(0000zyxM故有说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.mxx000yyxx设直线上的动点为则),,(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点),,(0000zyxM),,(zyxM例如,当,0,0时pnm和它的方向向量s一、直线的点向式方程与参数方程目录上页下页返回结束设得参数式方程:tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0目录上页下页返回结束例1.求过两点1111(,,)Mxyz2222(,,)Mxyz和的直线方程.111212121xxyyzzxxyyzz目录上页下页返回结束二、直线的一般方程xyzO01111DzCyBxA12L因此其一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)目录上页下页返回结束例2.用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点..s21ns,ns21nns目录上页下页返回结束故所给直线的对称式方程为参数式方程为t41x1y解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3,1,4(21nns312111kji是直线上一点目录上页下页返回结束例3.一直线过点)4,3,2(A，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(B取BAs,4,0,2所求直线方程.440322zyx目录上页下页返回结束2L1L三、两直线的夹角则两直线夹角满足设直线L1,L2的方向向量分别为两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)212121ppnnmm212121pnm222222pnm2121cosssss1s2s目录上页下页返回结束特别有:21)1(LL或重合21//)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss21//ss2L1L1s2s2L1L1s2s目录上页下页返回结束例4.求以下两直线的夹角解:直线L1的方向向量为直线L2的方向向量为二直线夹角的余弦为0202:2zxyxLcos从而4π)1,2,2()1(1)2()4(212221)4(1222)1()2(22010112kjis目录上页下页返回结束当直线与平面垂直时,规定其夹角为线的夹角(通常指锐角)称为直线与平面间的夹角;L四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线L的方向向量为平面的法向量为则直线与平面夹角满足222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),,(pnms),,(CBAnnsnssn),cos(sinsn目录上页下页返回结束特别有:L)1(或直线在平面上//)2(L0pCnBmApCnBmAns//ns解:取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量.132垂)1,3,2(nn例5.求过点(1,－2,4)且与平面目录上页下页返回结束kji到直线的距离为点2221pnm010101zzyyxxpnmdssMMd10),,(pnms),,(1111zyxM),,(0000zyxM五、点到直线的距离目录上页下页返回结束)(1111DzCyBxA20)(2222DzCyBxA过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为1六、平面束方程目录上页下页返回结束例6.求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交线提示:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程43x)1,3,4(32y15z平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.21nns目录上页下页返回结束例7.求直线与平面的交点.提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得1t从而确定交点为（1，2，2）.t目录上页下页返回结束例8.求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.提示:先求二直线交点P.化已知直线方程为参数方程,代入①式,可得交点最后利用两点式得所求直线方程431122zyx的平面的法向量为故其方程为①),,(312),,(011)1,2,3(s过已知点且垂直于已知直线P目录上页下页返回结束例9.求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择使其与已知平面垂直,得001zyxzy这是投影平面0)1(1zyxzyx即从而得投影直线方程,1故应有：这是给定的平面目录上页下页返回结束1.空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000)0(222pnm内容小结目录上页下页返回结束,1111111pzznyymxxL：直线,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2.线与线的关系直线夹角公式:021ss21LL或重合21//LL021ss2121cosssss目录上页下页返回结束,0DzCyBxACpBnAm平面:L⊥L//或直线在平面上夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3.面与线间的关系直线L:),,(CBAn),,(pnms0ns0nsnsnsL目录上页下页返回结束习题课思考与练习中，在直线方程pznymx6224各怎样取值时，pnm,,.都平行、直线与坐标面yOzxOy目录上页下页返回结束作业P381(1)(3)(5)，34(2)，6，8，9目录上页下页返回结束设一平面平行于已知直线0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量,503cos504cos,505cos1nsn)4,1,7(1n417211kji)4,5,3(2所求为备用题1目录上页下页返回结束n求过直线0405:zxzyxLzyx84且与平面夹成角的平面方程.提示:过直线L的平面束方程其法向量为已知平面的法向量为选择使43.012720zyx从而得所求平面方程4π012114πcosnnnn).1,5,1(1n)8,4,1(n1n备用题2目录上页下页返回结束设所求直线与L2的交点为12000zyx0000,2yzyx利用所求直线与L2的交点.即),,,(000zyxB则有2L)1,2,1(A),,(000zyxB备用题3一直线过点且垂直于直线,11231:1zyxL又和直线相交,求此直线方程.解：目录上页下页返回结束0)1()2(2)1(3000zyx512231zyx0000,2yzyx将代入上式,得由点向式得所求直线方程而)1,2,1(000zyxAB)5,2,3(731L)715,76,79(AB2L)1,2,1(A),,(000zyxB11231:1zyxL目录上页下页返回结束思路:先求交点求过点且与两直线都相交的直线L.提示:的方程化为参数方程L1L2L0M1M2M设L与它们的交点分别为.)12,43,(2222tttM再写直线方程.;,21MM),1,2,(1111tttM备用题4目录上页下页返回结束2,021tt)3,2,2(,)1,0,0(21MM211111:zyxL210,,MMM三点共线2010//MMMML1L2L0M1M2M),1,2,(1111tttM)12,43,(2222tttM