高等数学 空间曲面和曲线

曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹.曲面方程的定义：8.3空间曲面和曲线8.3.1空间曲面方程(2)不在曲面上的点的坐标都不满足方程；(1)曲面上任一点的坐标都满足方程；如果曲面与三元方程有下述关系：S0),,(zyxF而曲面S称为方程的图形.那么,方程就称为曲面S的方程,0),,(zyxF解,||0RMM由题意，有222000()()()xxyyzzR.)()()(2202020Rzzyyxx所求方程为特别地,球心在原点的球面方程为2222Rzyx即设是球面上任一点，),,(zyxM例1建立球心在点半径为R的球面方程.),,,(0000zyxM球面的一般方程为2220xyzAxByCzD经配方,可化为球面的标准方程.例如2222xyzz配方后得222(1)1xyz例如221zxy与2211zxy分别表示上、下半球面.定义绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称母线.称为旋转曲面.旋转一周所成的曲面,为方便,常把曲线所在一条平面曲线母线轴作坐标轴.平面取作坐标面,旋转轴取xozy0),(zyf),,0(111zyMM,),,(是旋转曲面上任意一点设zyxM1)1(zz||122yyxd将代入2211,yxyzz0),(11zyfd得所求方程为0),(zyf现求yOz坐标面上的已知曲线绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.(2)点M到z轴的距离0),(22zyxf0),(zxfxOz坐标面上的已知曲线绕x轴旋转一周的旋转曲面方程为0),(zyf绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为同理：yOz坐标面上的已知曲线0),(22zyxf0),(22zxyf解cotyz圆锥面方程cot22yxz所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角圆锥面的半顶角.)20(称为试建立顶点在坐标原点O,旋半顶角为的圆锥面的方程.转轴为z轴,yOz面上直线方程为例2直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周yxzOxyzO圆锥面的方程也可写成圆锥面的几种常用形式22zxy与22221,2()zxyzxy分别表示开口朝上与朝下的半锥面.)0cot()(2222ayxaz122222czxay122222czayx旋转椭球面pzyx222旋转抛物面例3将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程．(1)yoz面上的椭圆绕y轴和z轴;22221yzac(2)yoz面上的抛物线绕z轴;22ypz绕y轴旋转绕z轴旋转定义平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C称为柱面的准线,动直线L称为柱面的母线.所形成的曲面称为柱面.移动的直线LLC准线母线柱面举例xozyxozy2xy抛物柱面xy平面从柱面方程看柱面的特征：(其他类推),0),(,yxFzyx的方程而缺只含在空间直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,其准线为xOy面上的曲线C.ozyx椭球面1222222czbyaxxyzO三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．zqypx2222(与同号)pq椭圆抛物面zxyoxyzo0,0qp0,0qp特殊地:当时,方程变为qpzpypx2222旋转抛物面221zxy分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面.例如222zxy与xyzO0qpzqypx2222(与同号)pq双曲抛物面(马鞍面)设0,0qp图形如下：xyzO单叶双曲面1222222czbyaxxyoz双叶双曲面1222222czbyaxxyo空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点:曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xyzO1S2SC0),,(zyxF0),,(zyxG8.3.2空间曲线方程例4方程组表示怎样的曲线?632122zxyx解122yx表示圆柱面，632zx表示平面，632122zxyx交线为椭圆C1zxyO2例5方程组表示怎样的曲线?42222222ayaxyxaz解222yxaz上半球面(如图)42222ayax圆柱面(如图)交线为蓝色部分(如图)xyzO)()()(tzztyytxx称为空间曲线的参数方程随着参数的变化可得到曲线上的,1时当给定tt就得到曲线上的一个点),,,(111zyx全部点.动点从A点出发,taxcostaysinvtz螺旋线的参数方程取时间t为参数,解经过t时间,运动到M点.),,(都是常数其中v那末点M构成的图形称为螺旋线.试建立其参数方程.M在xOy面的投影)0,,(yxMzxyOMMAta轴的正方向上升例6如果空间一点M在圆柱面222ayx上以角速度ω绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z0),,(0),,(zyxGzyxF消去变量z后得：0),(yxH——曲线关于xOy的投影柱面.设空间曲线C的一般方程：投影柱面的特征：此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、C母线垂直于所投影的坐标面.类似地:可定义空间曲线在其它坐标面上的投影.00),(xzyR00),(yzxTyOz面上的投影曲线xOz面上的投影曲线00),(zyxH空间曲线在xOy面上的投影曲线(或称投影)(即为曲线关于xOy面的投影柱面)(即为xOy面)C(即为投影柱面与xOy面的交线)zxzxy22222解交线方程为,122yx0122zyx消去z得投影柱面zx22的交线关于xOy面的投影柱面和在xOy面上的投影曲线方程.例7求椭圆抛物面与抛物柱面zxy222面上的投影为在xOy例8设一立体,由上半球面224yxz解半球面和锥面的交线为)(34:2222yxzyxzC,122yxz得投影柱面消去面上的投影为在则交线xOyC0122zyx面上的投影为所求立体在xOy.122yx的投影.和锥面所围成,求它在xOy面上)(322yxz