高等数学(下)总复习

期末总复习第一部分向量代数与空间解析几何1、向量的方向余弦),,,(1111zyxM设点（一）向量代数).,,(2222zyxM),,(12121221zzyyxxMM则21221221221)()()(zzyyxxMM两点间的距离模：方向余弦：2112cosMMxx2112cosMMyy2112cosMMzz),,0(2、数量积、向量积和混合积的几何应用（1）数量积的几何应用1）几何表示：cosbaba2）代数表示：zzyyxxbababababjaaPrajbbPr2、数量积、向量积和混合积的几何应用（1）数量积的几何应用1）几何表示：cosbaba2）代数表示：zzyyxxbababababjaaPrajbbPr3）几何应用：a.求模：aaab.求夹角：babacosc.判别两个向量垂直：0baba（2）向量积的几何应用1）几何表示：.是一向量ba.sin:baba模.:右手法则方向2）代数表示：zyxzyxbbbaaakjiba（2）向量积的几何应用1）几何表示：.是一向量ba.sin:baba模.:右手法则方向2）代数表示：zyxzyxbbbaaakjiba3）几何应用：a.求同时垂直于两个向量的向量：bacb.面积为邻边的平行四边形的、求以bac.判别两个向量平行：0//bababaS（3）混合积的几何应用1）代数表示：zyxzyxzyxcccbbbaaacba)(（3）混合积的几何应用1）代数表示：zyxzyxzyxcccbbbaaacba)(2）几何应用：a.平行六面体体积：)(cbaVb.判别三向量共面：0)(cbacba共面、、（二）直线与平面1、平面方程及转换关系1）一般式：0DCzByAx2）点法式：0)()()(000zzCyyBxxA3）截距式：1czbyax2、直线方程及转换关系1）一般式：0022221111DzCyBxADzCyBxA2）对称式：pzznyymxx0003）对参数式：,0mtxx,0ntyy.0ptzz3、直线与平面间的位置关系1）两平面之间：，：011111DzCyBxA，：022222DzCyBxA222222212121212121cosCBACBACCBBAA021212121CCBBAA两平面垂直：21212121//CCBBAA两平面平行：2）两直线之间：，：),,(11111pnmsL).,,(22222pnmsL：222222212121212121cospnmpnmppnnmm021212121ppnnmmLL两直线垂直：21212121//ppnnmmLL两直线平行：3）平面和直线之间：，：),,(CBAnpCnBmAnsL//直线与平面垂直：0//CpBnAmnsL直线与平面平行：).,,(pnmsL：222222sinpnmCBACpBnAm4）点到平面的距离：),,,(000zyx点0:1111DzCyBxA平面4）点到平面的距离：),,,(000zyx点0:1111DzCyBxA平面222000CBADCzByAxd（三）曲面与空间曲线（1）曲面方程（2）旋转曲面0),,(zyxF一条平面曲线C绕一条定直线旋转一周而成的曲面.定义:1）轴旋转绕平面曲线xyxf0),(.0),(22zyxf2）轴旋转绕平面曲线yyxf0),(.0),(22yzxf（3）柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做定义:柱面,曲线C叫做准线,l叫做母线.（3）柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做定义:柱面,曲线C叫做准线,l叫做母线.一般地,在三维空间中,方程缺哪个变量,则方程代表母线平行于该变量所代表轴的柱面.,0),(表示柱面方程yxF,轴母线平行于z;0),(yxFxoy面内曲线准线为,0),(表示柱面方程zyG,轴母线平行于x;0),(zyGyoz面内曲线准线为,0),(表示柱面方程xzH,轴母线平行于y.0),(xzHxoz面内曲线准线为（4）空间曲线一般式（4）空间曲线一般式，0),,(0),,(zyxGzyxF参数式)()()(tzztyytxx（5）投影曲线的一般方程为设曲线C，0),,(0),,(zyxGzyxF,z从中消去面的得到xoy,0),(yxH投影柱面面内的投影曲线为在从而xoyC.00),(zyxH在其它坐标同理可得曲线C.面内的投影曲线方程）（2222yxaz.222yxz常见：)(22yxaz（四）必须熟练掌握的常见的二次曲面的方程及其图形（1）球面2222azyx（2）椭球面1222222czbyax（3）圆锥面（4）旋转抛物面（5）圆柱面222ayx第二部分多元函数微分法及其应用一、多元函数的极限、连续、偏导数与全微分（一）基本内容小结1、多元函数二元函数的定义域；2、二元函数的极限与连续.),(lim),(lim1),(),(0000AyxfAyxfyxyxyyxx或）二重极限：（:说明趋于以任何方式、任何路径二重极限存在是指当),()yxP1,),(时点000yxP.),(Ayxf都无限趋于常数函数这样也给出了证明函,数极限不存在的方法),,(),(000yxPyxP沿两条不同路径趋于即让若,不存在其中有一条路径的极限,但是不等或两条路径的极限存在都.会得出函数极限不存在.)与一元函数完全类似二重极限的运算与性质2二元函数连续的概念)(2),,(),(lim0000yxfyxfyyxx若则称.),(),(处连续在点函数000yxPyxf连续函数的性质)(3.续函数有类似的性质多元连续函数与一元连.与最大值之间的任何值.)1质连续函数的四则运算性连续.续函数函数的复合函数仍为连,))(上连续的函数在有界闭区域最值定理D2上必有在该区域D.最大值和最小值,))(上的连续函数在有界闭区域介值定理D3可取到介于最小值,定义区域内处处连续一切多元初等函数在其定义区域指包含在.域定义域内的区域或闭区3、二元函数的偏导数与全微分偏导数概念)(1,)(),(的某邻域内有定义在点设函数00yxyxfz如果定义3、二元函数的偏导数与全微分偏导数概念)(1.上就是一元函数的导数二元函数的偏导数本质,)(),(的某邻域内有定义在点设函数00yxyxfz如果xyxfyxxfx),(),(lim00000,存在),(yxfz则称此极限为函数,)(的偏导数处对在点xyx00记为).,(),,(,000000yxzyxfxzxxyyxx类似地可定义yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000:说明定义因此一.导法则都适用元函数的求导公式和求全微分的概念)2(定义处的全增量在点如果函数),(),(yxyxfz,(xxfz可以表示为),()yxfyy)(oyBxAz全微分的概念)2(定义处的全增量在点如果函数),(),(yxyxfz,(xxfz可以表示为),()yxfyy)(oyBxAz,,,,无关有关而与仅与其中yxyxBA,)()(22yx则称函.),(),(可微在点数yxyxfz在点为函数并称),(yxfzyBxA.,),(yBxAdzyx记作处的全微分函数可微的必要条件)3(【定理】,),(),(处可微在点如果函数yxyxfz则该函数在点,,),(必存在处的偏导数yzxzyx.dyyzdxxzdz且函数可微的充分条件)4(【定理】,,),(),(连续处的偏导数在点如果函数yzxzyxyxfz.),(处可微则该函数在点yx系、可导、可微之间的关多元函数的极限、连续)5(连续可偏导可微偏导数连续（二）重点、难点及易错点解析1、求二元函数在分段函数的分界点或不连续点处的偏导数,需用偏导数定义.极限存在,,),(),(存在处的偏导数在点、函数yzxzyxyxfz2仅仅是函.),(可微的必要条件数在点yx),(yx别函数在此时可用全微分定义判,,),(),(存在处的偏导数在点、函数yzxzyxyxfz2仅仅是函.),(可微的必要条件数在点yx),(yx别函数在此时可用全微分定义判,处的可微性即考察极限]),(),([limyyxfxyxfzyx0?0、几个特殊的反例3.,),(),()(但在该点不连续处偏导数存在在001yxyxfz,例如),(),(,),(),(,),(0000022yxyxyxxyyxf.)0,0(点处在，0)0,0(xf，0)0,0(yf.)0,0(处不连续但它在.,),(),()2(00但在该点偏导数不存在处连续在yxyxfz.)0,0(),(22处在例如yxyxf.,),(),()3(00但在该点不可微处偏导数存在在yxyxfz.,),(),()3(00但在该点不可微处偏导数存在在yxyxfz.)0,0()0,0(),(,,0)0,0(),(,),(22处在例如yxyxyxxyyxf（三）常见的题型分析讨论二重极限.1证明二重极限不存在)(1【思路分析】,),(lim不存在方法是证明yxfyyxx00,取两条不同路径若,不存在其中有一条路径的极限,但是不等或两条路径的极限存在.会得出函数极限不存在求二重极限)(2【常用的方法】.,)转化为一元函数的极限利用变量替换1利用极限的性质)2).,(夹逼准则等如四则运算法则求二重极限)(2【常用的方法】.,)转化为一元函数的极限利用变量替换1利用极限的性质)2).,(夹逼准则等如四则运算法则消去零因子法)3).,(无穷小等价代换等如函数有理化.)积仍为无穷小利用有界量与无穷小之4、偏导数存在性讨论二元函数的连续性.2【思路分析】,是分段函数这类问题基本上涉及的.用定义研究讨论二元函数的可微性.3【思路分析】:方法函数可微性研究分三种.)(用微分的定义1.)(利用可微的必要条件2.定不可微偏导数不存在的函数一.)(利用可微的充分条件3.微偏导数连续的函数必可,)(,是最常用的方法方法三种方法中1:此时可分两步进行,),(),()是否存在和考察00001yxfyxfyx,在若其中至少有一个不存;),(),(不可微在则可断定00yxyxf,若两者都存在.则转下一步【思路分析】:方法函数可微性研究分三种.)(用微分的定义1.)(利用可微的必要条件2.定不可微偏导数不存在的函数一.)(利用可微的充分条件3.微偏导数连续的函数必可,)(,是最常用的方法方法三种方法中1:此时可分两步进行,),(),()是否存在和考察00001yxfyxfyx,在若其中至少有一个不存;),(),(不可微在则可断定00yxyxf,若两者都存在.则转下一步考察极限)2]),(),([limyyxfxyxfzyx0?0]),(),([)],(),([limyyxfxyxfyxfyyxxfyx00000即0?是否成立,)()(22yx其中.,,否则就不可微则可微若成立二、多元函数的微分法（一）基本内容小结1.复合函数的偏导数与全微分复合函数求导法