试验设计的优化方法

第2章试验设计的优化方法优选法：根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类科学方法。适用于：试验指标与因素间不能用数学形式表达表达式很复杂x1x2bx32.1单因素优选法基本命题试验指标f(x)是定义区间(a，b)的单峰函数用尽量少的试验次数，来确定f(x)的最大值的近似位置5.1.1来回调试方法x1x2ab若f(x1)f(x2)若f(x2)f(x3)x3x1x2x4……变量取值是任意的x32.1.2黄金分割法（0.618法）黄金分割：510.61803398872优选步骤：x20.6180.382x1ab0.6180.382x2x1b……2.1.3分数法菲波那契数列：F0＝1，F1＝1，Fn＝Fn-1＋Fn-2(n≥2)1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…分数：nn+1FF3581321345589144,,,,,,,,581321345589144233n→∞0.618x42/5x3分数法优选方法：适用于：试验值只能取整数的情况受条件限制只能做几次试验时x1x25/83/8x1x23/5x1x32/31/3分数法试验次数：B(无电)甲（有电）乙（无电）A(有电)2.1.4对分法特点：每次只做1次试验每次试验区间可以缩小一半适用条件：要有一个标准（或具体指标）要预知该因素对指标的影响规律优选方法：2.1.5抛物线法前面四种方法，不管是0.618法，还是分数法，都只是比较两个试验结果的好坏，而不考虑试验的实际值，即目标函数值。抛物线法是根据已得的三个试验数据，找到这三点的抛物线方程，然后求出该抛物线的极大值，作为下次试验的根据。2.1.5抛物线法在三个试验点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，分别得试验值y1，y2，y3，根据Lagrange插值法可以得到一个二次函数：233112123121323213132()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxyyyyxxxxxxxxxxxx设二次函数在x4取得最大值，则：2222221232313124123231312()()()12()()()yxxyxxyxxxyxxyxxyxx在x＝x4处做试验，得试验结果y4假定y1，y2，y3，y4中的最大值是由xi′给出除xi′之外，在x1，x2，x3和x4中取较靠近xi′的左右两点，将这三点记为x1′，x2′，x3′此处x1′＜x2′＜x3′，若在处的函数值分别为y1′，y2′，y3′,则根据这三点又可得到一条抛物线方程，如此继续下去，直到找到函数的极大点(或它的充分邻近的一个点)被找到为止。简单地说，如果穷举法(在每个试验点上都做试验)需要做n次试验，对于同样的效果，黄金分割法只要数量级lgn次就可以达到。抛物线法效果更好些，只要数量级lg(lgn)次，原因就在于黄金分割法没有较多地利用函数的性质，做了两次试验，比一比大小，就把它丢掉子，抛物线法则对试验结果进行了数量方面的分析。抛物线法常常用在0.618法或分数法取得一些数据的情况，这时能收到更好的效果。此外，还建议做完了0.618法或分数法的试验后，用最后三个数据按抛物线法求出x4，并计算这个抛物线在点x=x4处的数值，预先估计一下在点x4处的试验结果，然后将这个数值与已经试得的最佳值作比较，以此作为是否在点x4处再做一次试验的依据。例：在测定某离心泵效率η与流量Q之间关系曲线的试验中，已经测得三组数据如表所示，如何利用抛物线法尽快地找到最高效率点?离心泵效率η与流量Q试验数据流量Q/L/s82032效率η/%507570Xx1x2x3Yy1y2y3解：首先根据这三组数据，确定抛物线的极值点，即下一试验点的位置。于是2222221232313124123231312()()()12()()()yxxyxxyxxxyxxyxxyxx代入得x4=24，并以此为依据，做第四次试验，得到离心泵效率y4=78%，试验表明，在该处离心泵效率已经非常理想了，试验一次成功。如果不满意，则以下表为数据进入下一循环流量Q/L/s242032效率η/%787570抛物线法的Excel用法在抛物线法中，主要是确定抛物线方程和抛物线的最大值，这些都可以利用Excel来求解。具体来说，先在Excel中画出散点图，然后选择菜单[图表]，打开[添加趋势线]对话框，在“类型”标签中选择“多项式”类型，阶数为2，在“选项”标签中选中“显示公式”，确定后即可得到抛物线和方程图。然后利用Excel中的“规划求解”工具求出该抛物线方程的最大值，即为x4。2.1.6分批试验法在生产和科学实验中，为加速试验的进行，常常采用一批同时做几个试验的方法，即分批试验法。分批试验法可分为均分分批试验法和比例分割分批试验法两种。（1）均分法先把试验范围等分为（2n+1）段，在2n个分点上作第一批试验，比较结果，留下较好的点，及其左右一段然后把这两段都等分为（n+1）段分点处做第二批试验（共做2n个试验）。**（2）比例分割法每一批做2n＋1个试验把试验范围划分为2n+2段，相邻两段长度为a和b(a＞b)在（2n＋1）个分点上做第一批试验，比较结果，在好试验点左右留下一长一短把a分成2n＋2段，相邻两段为a1，b1(a1＞b1)，且a1＝b这里长短段的比例不是任意的，它与每批试验次数有关：15λ=(1)21nn当试验范围为(0,1)时，a=λ。而当n=0时，即每次作一次试验时，a=λ=0.618，这就是黄金分割法，所以比例分割法是黄金分割法的推广。下表为试验范围为(0,1)时每批试验的安排情况。2.1.7逐步提高法（爬山法）方法：找一个起点、寻找方向注意：爬山法的效果和快慢与起点关系很大，起点选得好可以省好多次试验。所以对爬山法来说试验范围的正确与否很重要。此外，每步间隔的大小，对试验效果关系也很大。在实践中往往采取“两头小，中间大”的办法，也就是说，先在各个方向上用小步试探一下，找出有利于寻找目标的方向，当方向确定后，再根据具体情况跨大步，到快接近最好点时再改为小步。AB＜AC＞AD＞CE＜DF2.1.8多峰情况（1）先不管它是“单峰’’还是“多峰”，用前面介绍的方法做下去，找到一个“峰”后，如果达到生产要求，就先按它生产，以后再找其他更高的“峰”(即分区寻找)。（2）先做一批分布得比较均匀、疏松的试验，看它是否有“多峰”现象。如果有，则在每个可能出现“高峰”的范围内做试验，把这些“峰”找出来。这时，第一批试验点最好依以下的比例划分：α:β＝0.618:0.382，即：以后批次按0.618法试验。2.2双因素优选法双因素优选法的数学意义双因素优选法就是要迅速地找到二元函数z＝f(x，y)的最大值，及其对应的（x，y）点的问题。这里x,y代表的是双囚素。假定处理的是单峰问题，也就是把x,y平面作为水平面，试验结果z看成这一点的高度，这样的图形就像一座山，双因素优选法的几何意义就是找出该山峰的最高点。如果在水平面上画出该山峰的等高线(z值相等的点构成的曲线在x,y平面上的投影)，最里边的一圈等高线即为最佳点。Q2.2.1对开法优选范围：a＜x＜b，c＜y＜d优选方法：abdc2ab2cdP2abbQR注意：在两根中线上用单因素法找最大值点P、Q。比较P和Q处的指标值，如果Q大，去掉不含P的Q另一侧部分，如果P大，去掉不含Q的P另一侧部分。再用同样的方法来处理余下的半个矩形，不断地去其一半，逐步地得到所需要的结果。特例：如果P、Q两点的试验结果相等(或无法辨认好坏)，这说明P和Q点位于同一条等高线上，可以将P和Q共在的象限留下，其余去掉。所以当两点试验数据的可分辨性十分接近时，可直接去掉试验范围的3／4。P2P12.2.2旋升法（从好点出发法）优选范围：a＜x＜b，c＜y＜d优选方法：abdc2ab2abbP2P3要点：首先从某单个因素出发，对折后单因素法确定第一个点。在这个方法中，每一次单因素优选时，都是将另一因素固定在前一次优选所得最优点的水平上，故也称为“从好点出发法”。在这个方法中，哪些因素放在前面，哪个因素放在后面，对于选优的速度影响很大，一般按各因素对试验结果影响的大小顺序，往往能较快得到满意的结果。例：阿托品是一种抗胆碱药。为了提高产量降低成本，利用优选法选择合适的酯化工艺条件。根据分析，主要影响因素为温度与时间，其试验范围为温度：55～75℃，时间：30～310min。优选过程如图所示。解：①先固定温度为65℃，用单因素优选时间，得最优时间为150min，其收率为41.6％；A点②固定时间为150min，用单因素优选法优选温度，得最优温度为67℃，其收率为51.6％(去掉小于65℃部分)；B点③固定温度为67℃，对时间进行单因素优选，得最优时间为80min，其收率为56.9％(去掉150min上半部)；C点④再固定时间为80min，对温度进行优选，这时温度的优选范围为65～75℃。优选结果还是67℃。到此试验结束，可以认为最好的工艺条件为温度：67℃，时间80min，得率56.9％。RPQ2.2.3平行线法两个因素：一个易调整，另一个不易调整时优选范围：a＜x＜b，c＜y＜d优选方法：（设：x易调整，y不易调整）abdc0.3820.618将不易调整的量固定在0.618和0.382处，单因素法找出对应的最值点P、Q。PQ去掉Q下方的部分，反之，去掉P上方的部分。重复即可。不易调整因素y的取点也可采用其他单因素法。2.2.4按格上升法将试验区域画上格子，将分数法与上述方法结合起来。利用菲波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…简易步骤：优选的范围是一个格子图(本例21X13)，先在x＝13的直线上用分数法做5次试验，又在y＝8的直线上也用分数法，这时T点已做过试验，因此只需做(6-1)＝5次试验，各得一最优点，分别记为P、Q。比较P、Q点，如果Q点比P点好，则留下8X13的格子图。在剩余的范围内采用同样的方法进行优选，这时可以取x=13+5=18，或者x=21-5=16，考虑到x=18更靠近好点Q，故在x=18上用分数法。上面优选过程与对开法类似，当然也可用平行线法等其他方法。2.2.5翻筋斗法ACBDEFGF′G′从一个等边三角形ABC出发(如图)，在三个顶点各做一个试验，如果C点所做的试验最好，则作C点的对顶同等边三角形CDE，在D、E处做试验，如果D点好，则再作D点的对顶同等边三角形……如果在F，G处做试验，都没有D点好，则取FD及GD的中点F’G’做试验，也可以取CE及ED的中点作试验，再用以上的方法，如果在D的两边一分再分都没有找到比D点好的点，一般说来，D点就是最好点了。提示：其实关于等边三角形的限制不是必需的，根据具体情况可用直角三角形或任意三角形。在生产和科学试验中遇到的大量问题，大多是多因素问题，优选法虽然比普通的穷举法或排列组合法更适合处理多因素问题，但随着因素数的增多，试验次数也会迅速增加(尽管比普通方法增加率慢得多)，所以在使用优选法处理多因素问题时，不能把所有因素平等看待，而应该将那些影响不大的因素暂且撇开，着重于抓住少数几个、必不可少的、起决定作用的因素来进行研究。优选法在因素主次判断中的应用：在因素的试验范围内做两个试验（可选0.618和0.382两点）如果这两点的效果差别显著，则为主要因素如果这两点效果差别不大在（0.382～0.618）、（0～0.382）和（0.618～1）三段的中点分别再做一次试验如果仍然差别不大，则此因素为非主要因素且可将该因素固定在0.382～0.618间的任一点当对某因素做了五点以上试验后，如果各点效果差别不明显，则该因素为次要因素