第十二章 常微分方程

常微分方程在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法。本章先从解决这类实际问题入手，引出微分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法。重点五种标准类型的一阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难点求解全微分方程求常系数非齐次线性方程的通解基本要求①明确微分方程的几个基本概念②牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可分离变量的微分方程③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，会将Bernoulli方程化为一阶线性方程来求解④掌握全微分方程的解法⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟练地应用特征根法、待定系数法求解二阶常系数线性方程一、问题的提出例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解)(xyy设所求曲线为xdxdy22,1yx时其中xdxy2,2Cxy即,1C求得.12xy所求曲线方程为例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,tssst米秒钟行驶设制动后4.022dtsd,20,0,0dtdsvst时14.0Ctdtdsv2122.0CtCts代入条件后知0,2021CC,204.0tdtdsv故,202.02tts开始制动到列车完全停住共需),(504.020秒t列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米s二、微分方程的定义微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例,xyy,32xeyyy,0)(2xdxdtxt,yxxz实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.分类1:常微分方程,偏常微分方程.微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.分类2:一阶微分方程,0),,(yyxF);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy分类3:线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy;02)(2xyyyx分类4:单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy三、主要问题-----求方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,)(阶导数上有在区间设nIxy.0))(,),(),(,()(xxxxFn微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,yy例;xcey通解,0yy;cossin21xcxcy通解(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.00),(yyyxfyxx一阶:过定点的积分曲线;二阶:0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.例3验证:函数ktCktCxsincos21是微分方程0222xkdtxd的解.并求满足初始条件0,00ttdtdxAx的特解.解,cossin21ktkCktkCdtdx,sincos221222ktCkktCkdtxd,22的表达式代入原方程和将xdtxd.0)sincos()sincos(212212ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解故ktCktCx,0,00ttdtdxAx.0,21CAC所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来).cosktAx四、小结微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;思考题函数xey23是微分方程04yy的什么解?思考题解答,62xey,122xeyyy4,0341222xxeexey23中不含任意常数,故为微分方程的特解.练习题一、填空题:1、022yxyyx是______阶微分方程；2、022cQdtdQRdtQdL是______阶微分方程；3、2sindd是______阶微分方程；4、一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数.二、确定函数关系式)sin(21cxcy所含的参数,使其满足初始条件1xy,0xy.三、设曲线上点),(yxP处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分,试写出该曲线所满足的微分方程.四、已知函数1xbeaeyxx,其中ba,为任意常数,试求函数所满足的微分方程.练习题答案一、1、3；2、2；3、1；4、2.二、.2,121CC三、02xyy.四、xyy1.