【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件：第11章 第3节 二项式定理(理)

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)计数原理与概率(理)概率(文)第十一章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)第三节二项式定理(理)第十一章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)考纲要求命题分析1.能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.以选择题或填空题的形式考查二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数等知识是高考对本节内容的常规考法．分值5分左右，属容易题．预计2016年高考可能会考查利用通项公式求展开式中某项的系数、某特定的项、项的系数的最值问题及几个二项式和或积的展开式中某项的系数等.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)1.二项式定理(a＋b)n＝__________________________________________________这个公式所表示的定理叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫作___________．式中的Crnan－rbr叫作二项展开式的______，用Tr＋1表示，即展开式的第______项；Tr＋1＝______.C0nan＋C1nan－1b1＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N＋)二项式系数通项r＋1Crnan－rbr走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)2．二项展开式形式上的特点(1)项数为______．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为______．(3)字母a按______排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按______排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从______，C1n，一直到Cn－1n，______.n＋1n降幂升幂C0nCnn走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数________．即________.(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当kn＋12时，二项式系数逐渐________．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；相等Crn＝Cn－rn增大走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)2n2n－1走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)1.若(x－12)n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为()A．132B．164C．－164D．1128[答案]B走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)[解析]由题意知C2n＝nn－12＝15，所以n＝6，故(x－12)n＝(x－12)6，令x＝1得所有项系数之和为(12)6＝164，故选B．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)2．(x2－2x3)5展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40[答案]C[解析]Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(－2x3)r＝Cr5x10－2r·(－2)r·x－3r＝Cr5(－2)r·x10－5r.令10－5r＝0，∴r＝2，常数项为C25×4＝40.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．6[答案]B[解析]令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，∴a0＋a2＋a4＝8.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)4．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A．6B．7C．8D．9[答案]B走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)[解析]本题主要考查二项式定理中二项展开式通项公式的应用．二项式(1＋3x)n展开式的通项公式为Tr＋1＝3rCrnxr，∴x5与x6的系数分别为35C5n，36C6n.由条件知：35C5n＝36C6n，即C5n＝3C6n，∴n！5！n－5！＝3·n！6！n－6！∴n＝7，选B．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)5．(2014·新课标Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)[答案]12[解析]本题考查二项式定理的通项公式求特定项的系数．因为Tr＋1＝Cr10x10－rar，所以令10－r＝7，解得r＝3，所以T4＝C310x7a3＝15x7，解得a＝12.解法二：∵C310x7a3＝15x7，∴C310a3＝15，a＝12，故a＝12.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)6．在(x－2x)6的二项展开式中，常数项等于________．[答案]－160[解析]本题考查二项展开式的通项公式．Tr＋1＝Cr6x6－r(－2x)r＝(－2)r·Cr6x6－2r，令6－2r＝0得r＝3.∴T4＝C36(－2)3＝－160.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)二项展开式中的特定项或特定项的系数已知在(3x－33x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[思路分析]准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)[规范解答]通项公式为Tr＋1＝Crnxn－r3(－3)rx－r3＝(－3)rCrnxn－2r3.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，解得n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴x2的项的系数为C210(－3)2＝405.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)(3)由题意知10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k，∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)[方法总结]二项展开式的通项公式Tk＋1＝Cknan－kbk(k＝0,1,2，…，n)集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数以及数、式的整除等方面有着广泛的应用．使用时要注意：(1)通项公式表示的是第“k＋1”项，而不是第“k”项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)(2014·湖南高考)(12x－2y)5的展开式中x2y3的系数是()A．－20B．－5C．5D．20[答案]A[解析]展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5(12x)5－r·(－2y)r＝(12)5－r·(－2)rCr5x5－ryr.当r＝3时为T4＝(12)2(－2)3C35x2y3＝－20x2y3，故选A．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)展开式中的系数和若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.[思路分析]所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值”法，整体解决．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)[规范解答](1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7②.由①－②2得：a1＋a3＋a5＋a7＝12[128－(－4)7]＝8256.(3)由①＋②2得：a0＋a2＋a4＋a6＝12[128＋(－4)7]＝－8128.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)[点评]1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2．若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＋＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)若(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9(x∈R)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．[答案]49－1[解析]在(1－3x)9展开式中奇数项为正，偶数项为负．故|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝－a1＋a2－a3＋…－a9.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝49.令x＝0，得a0＝1.故|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝49－1.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)求二项展开式中系数最大的项已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数的最大项；(2)求展开式中系数最大的项．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)[思路分析]展开式中二项式系数的最大项应是中间项，并要根据n的奇偶性来确定是两项还是一项；系数最大项的系数，应满足它不小于前一项的系数，也不小于后一项的系数，若设第r＋1项为展开式的系数最大项，则应满足第r＋1项的系数大于或等于第r项及第r＋2项的系数．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)[规范解答](1)令x＝1，则二项式各项系数和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意，知4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0.∴(2n＋31)(2n－32)＝0.∴2n＝－31(舍)或2n＝32.∴n＝5.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T3＝C25(x23)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23)2(3x2)3＝270x223.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第十一章计数原理与概率(理)概率(文)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是T3＝C25(x23)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23)2(3x2)3＝270x223.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第