数学物理方法期末复习提纲

1试卷题型：一、填空题（每小题2分，共12分）二、单项选择题（每小题3分，共12分）三、名词解释（每小题4分，共8分）四、证明题（每小题8分，共32分）五、计算题（每小题12分，共36分）试卷类型：开卷2教材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]内容第一篇复变函数论第二篇数学物理方程数学物理方法3第一章复变函数1、复数的定义一、复数zxRezyIm实部：虚部：模：22yxz辐角：kzArgz2arg),2,1,0(k主辐角：)(argxyarctgz,2arg0z共轭复数:iyxz*zxiyiyxz——三角式)sin(cosiziez——指数式——代数式*复数三种表示式之间的转换42、复数的运算:加、减、乘、除、乘方、开方(1)、加法和减法)()(212121yyixxzz111iyxz222iyxz(2)、乘法和除法))((221121iyxiyxzz)()(12212121yxyxiyyxx22222211))((yxiyxiyx2222211222222121yxyxyxiyxyyxx*22*21zzzz21zz5(2)、乘法和除法两复数相除就是把模数相除,辐角相减。)]sin()[cos(21212121izz)(2121ie121111122222(cossin)(cossin)iiziezie12121212[cos()sin()]zzi)(2121ie两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加;6(3)复数的乘方和开方ninez)(inne)sin(cosninn或(n为正整数的情况)12π2πcossinnnkkzinn)1,,2,1,0(nknkine2复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便。棣莫弗公式：nininsincos)sin(cos7二、六种初等复变函数：1.幂函数nzw2.指数函数zew周期为2i，3.三角函数cos,2izizeezsin,2izizeezi周期为284、双曲函数2zzeeshz2zzeechz5、根式函数ieznkinew2)(,,,1210nk周期为2i6、对数函数zwlnlnziArgzkzArgz2arg,,10k9222zzxy13例1：已知，则。23zizz13例2：复数ez的模为，辐角为.xe2,0,1,2,ykkzxiyeexiyee10三、解析函数),(),()(yxivyxuzf1、柯西-黎曼方程xvyuyvxu直角坐标系：极坐标系：vuvu112、解析函数性质：(1)、若是解析函数，则。),(),()(yxivyxuzf0vu(2)、若函数在区域B上解析，则u和v必为B上的相互共轭调和函数。ivuzf)(113、构建解析函数：给出一个二元调和函数作为解析函数的实部或虚部，通过C—R条件求出该解析函数的虚部或实部，从而写出这个解析函数。①算偏导②u或v的全微分③求积分④表成()fz12例3：已知解析函数的实部，求虚部和这个解析函数。)(zf22(,),(0)0uxyxyxyf2,2uuxyxyxy根据C-R条件，2,2vuvuyxxyxyyx解：21()(2)()2()2vvdxyyxdxyxyxyx1321()(2)()2()2vvdxyyxdxyxyxyx2()vxyy()yy21()2yyC2212()2vxyyxC222222221()[2()]21()()212fzuivxyxyixyyxiCxiyixiyiCziziC(0)0f0C221()2fzziz2,2vyxxvxyy14例4：已知解析函数f(z)的虚部，求实部和这个解析函数f(z)。22),(yxxyxv),(yxu解：提示：当给定的u或v中含有因子x2+y2，这种情况下采用极坐标处理比较方便，即令。222yx2cosvcos)cos1(2sin222sin2152sin2v21212sin2v2sin21212cos2v2cos2vuvu11vu12cos212cos21vu2sin212sin216sin22u将上面第二式对积分，视作参数，有()uudRsin()22dRsin()22dR2cos()2R其中为的任意函数。()R将上式两边对求导，1cos()22uR1cos221cos22u171cos()22uR1cos22()0R()RCCu2cos22sin22cos2)(iCzfCi)2sin2(cos2122(cossin)iC122[(cossin)]iC2zC18第二章复变函数积分一、复变函数积分的性质：——P23二、计算复变函数回路积分1、单通区域柯西定理：P242、复通区域柯西定理：P253、重要公式应用（P28）)(2)(01包围不包围lildzzl194、柯西公式()d2()lfzzifz()1()2()()!nnlfzidzfzn高阶导数的柯西公式20当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积分，可利用柯西公式来计算,1()()nfzz(1)把被积函数写成的形式，f(z)在积分区域上解析,为积分区域内一点；(2)利用柯西公式来计算积分.lnnfnidzzzf)(!)()()(2121222sin()4.,:(1)11czdzcxyz例1其中2yxo1sin()411czdzzIz1sin421zziz22i22例2．下列积分不为零的是()。0.51.zAdzz20.51.zBdzz1.0.5zCdzz21.1zDdzzC21111()1211zzz21111()12111(22)20zzzdzdzdzzzzii0()12()lldzzil不包围包围23第三章幂级数展开一、收敛半径方法1：比值判别法1limkkkaaR方法2：根值判别法1limkkkRa收敛圆：收敛域：Rzz00zzR00()kkkazz2010200()()()kkaazzazzazz24例1求幂级数的收敛圆.1limkkkaaR1lim1kkkkak解0()kkkzi收敛圆:1zi25解:1!lim1(1)!kkk,例2幂级数的收敛域。1limkkkaaRlim1kk收敛域:z0!kzkzek26二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展成幂级数根据解析函数泰勒级数和洛朗级数展开的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展开式，通过变量变换，结合级数的四则运算、逐项求导和积分、分解成最简分式等方法去展开。间接展开法：2701)!kzkzek012)1kkzz013)(1)1kkkzz2104)sin(1)(21)!kkkzzk)1(z)1(z)(z)(z205)cos(1)(2)!kkkzzk)(z常见函数的泰勒展开式:280.()0fzarctgzz例3把在邻域展成泰勒级数.解：211arctgzdzz2201(1),11kkkzzz210(1)21kkkarctgzck00arctg0c1,12)1(012zzkarctgzkkk01(1),11kkkttt2911()dzidzz21.()1()fzzizzi例4把在圆环展成幂级数.解：22111()()fzzziziz03101111()11(1)()()()kkkkkkiziziziziiziziizi31320011()[()()]()(1)()kkkkkkdfziziikzizidzzi33(3)(2)(),(1)kkkkizizi01(1),11kkkttt30奇点名称可去奇点极点本性奇点不含负幂项含无限个负幂项含有限个负幂项的洛朗级数00zzR极限性质0lim()zzfz有限值0lim()zzfz0lim()zzfz无定值三、有限远孤立奇点分类及其类型判定31极限判定法来判定可去奇点，极点，本性奇点。几个名词的定义：孤立奇点，非孤立奇点，可去奇点，m阶极点，本性奇点532():_________________.4zifzzz的极点为0,2i1/2():_____________;:_________________.9zefzz的极点为本性奇点为3,3ii032设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点b1，b2，…，bn外解析，在闭区域上除b1，b2，…，bn外连续，则f(z)沿l正向积分之值等于f(z)在l所围区域内各奇点的留数和的2i倍.Bldzzf)(()lfzdz12Re()njjisfb左边的积分是沿l的正向进行的；注意:右边的奇点是指l所围区域内的，并非是f(z)所有的奇点。第四章留数定理一、留数定理：——P5233二、计算留数各孤立奇点留数的计算公式奇点类型0Re()sfz可去奇点0m阶极点01011lim[()()](1)!mmmzzdzzfzmdz一阶极点普遍公式00lim[()()]zzzzfz本性奇点0010()Re()zzRfzsfza在展开得00()()PzQz()()()PzfzQz000()0,()0()0PzQzQz34极点阶数判定非零的有限值mmzzazfzz)]()[(lim00法一0ma00lim[()()]nzzzzfz把极点阶数估计得过高n就是极点的阶数把极点阶数估计得过低(nm)(n=m)(nm)法二零点和极点的关系若z=z0是f(z)的m阶零点，则z=z0必是的m阶极点。1()fz35三、留数定理的应用1、计算闭合回路积分；例133sin(4)(1)(2)zzdzzzz计算积分解：3sin()(4)(1)(2)zfzzzz，其奇点为：z1=4,z2=2,z3=1只有单极点z2=2,z3=1在积分回路内。31sinsin1Re(1)lim(4)(2)27zzsfzz2[Re(1)Re(2)]Iisfsfsin1sin22()278i32sinsin2Re(2)lim(4)(1)8zzsfzz3611201(cos,