数学物理方程课件 积分变换法

第五章傅里叶变换方法积分变换法是求解数学物理方程的一种重要的方法，它适合于求解无界区域和半无界区域的定解问题。通过对数学物理方程的积分变换，减少了自变量的个数，直至把偏微分方程化为常微分方程，使求解问题大为简化。积分变换法还可以计算定积分，求解常微分方程和积分方程。本章介绍最经常使用的Fourier变换法和Laplace变换法。积分变换法简介掌握傅立叶变换法、拉普拉斯变换法的定义、存在条件及正反变换的求法；掌握二种变换的主要性质；学会查积分变换表；掌握使用积分变换法求解定解问题的一般步骤。重点掌握用富氏变换法求解无界域偏微分方程定解问题的求法和用拉氏变换法求解常微分方程的初值问题。本章主要内容积分变换法的基本思想偏微分方程定解问题象函数的常微分方程的定解问题象函数象原函数iii)取逆变换i)选取适当的积分变换ii)求解常微分方程定解问题偏微分方程定解问题的解§1Fourier变换法012()[-,]()[-,]()(cossin)21()cos,0,1,2,...1()sin,nnnlnllnlFourierlfxllDirichletllFourierannfxaxbxllnafxxdxnllnbfxxdxnll一、级数一个以为周期的函数，若在区间上满足条件即连续或有有限个第一类间断点，并且只有有限个极大值和极小值，则在式可以展开级数其中1,2,...---()(-,)i)ii|()|()()(1)()()[()]()()()(2)()()ixixFourierfxfxdxFfxedxfxFourierfxFfxFedFFourierFourie二、变换设在上满足逐段光滑（可导）；)绝对可积（即收敛）,则称为的变换象函数，记作而称为的逆变换象原函数，或Fr积分。1()[()](1)(2)i)iii)iinfxFFourierFourierFourierFourierFourier该问题可以推广到维空间情形：记和称为变换对，条件、)称为变换存在的条件。满足条件、)的变换称为常义变换，否则称为广义变换。对于广义变换，函数起着至关重要的作用。F0001()()1,(,0)(0,)0()i)ii(1)[()]()|1()()()()ixixxxFourierFourierxdxxFourierFourierxxedxexfxxxdxfx例：求函数的变换与逆变换。解：根据函数的性质，有并且在所以函数满足变换的存在条件、)，由变换的定义式可得这里用到了函数的分选性质，即F[()]1(3)x即F§4.1.1Fourier变换法00(3)(2)11()1cos2cossinsin01()cosixixFourierxedxdexixxdxxd把代入逆变换公式得，这里用到了欧拉公式，即以及即()()2()cos,(,)cos21[]21[2()2()]21(()1)2(cos)[()()](sin)[ixixixixixixixfxxxFouriereexedxedxeedxxedxxi例：求的广义变换。同理可得FF()()]||0023(),0(),0[()]()112111xxxixxixxixfxeFourierexfxexfxfxedxeedxeedxii例：求的变换。解：F§1Fourier变换法22222222222()()424214()211,,22[()]()()titbtitibtbtitbbbfteFourierabftFftedtaeedtaedtaeedteeb例：求高斯分布函数的频谱函数。解：求频谱函数，就是求其变换。设有F§1Fourier变换法2250,2(),220,2()[()]()2sin2itittfxEttFourierFftftedtEEedt例：求矩形脉冲的频谱。该脉冲可表示为解：按照变换的定义式，有F§1Fourier变换法6()()()[()]()()()()(1)()()(2)(1)(2)()(ixixixixfxFFourierFfxfxedxfxedxfxedxFfxedxfxf例：证明与其象函数的奇偶性相同。证明：按照变换的定义式，有比较、两式可见，若F)()()()()xFFFfx，则，即与奇偶性相同。证毕！§1Fourier变换法00,7(-)(0)1,[(-)](-)(0)0,(-),[(-)]lim[(ixixaxxxaHxaFourieraxaHxaHxaedxedxFourierxaHxaeexaHxaH例：求单位阶跃函数的变换。解：根据定义式，由于积分不收敛，故单位阶跃函数的变换不存在，为了改善其收敛性质，考虑加一个衰减因子,重新定义FFF0()0-)],[(-)]lim(-)limxxixixiaaxaeHxaHxaeedxiedxe则F§1Fourier变换法001018()[()]()()sin[()]()()cos()2[()]()()sin[()](ssccsssccFouriefxFourierfxFfxxdxfxFfxxdxfxFourierFourierFfxfxxdxFrFourfier例：设满足变换存在的条件，并且记分别称为的和。试证明正弦变换和余弦变换的公式分别为正弦变换余弦变换FFFF02)()coscxfxxdx§1Fourier变换法0()[()]()()()cos()sin(1)i)()()2()cos2()(2)1()()()2ixcixFfxfxedxfxxdxifxxdxfxFfxxdxFfxFed证明：欧拉公式当为偶函数时，有而逆变换公式F000(3)()()12()2()cos()cos22()()cosccfxFfxFxdxFxdxFourierfxFxd我们知道，与的奇偶性相同(已证明)，故此时有即余弦变换的公式为§1Fourier变换法00sii()(1)()2()sin2()(4)(3)(4)11()()[2()]222()()2()()sixixsixsfxFifxxdxiFFourierfxFediFediFedFourierfxF)当为奇函数时，根据式有此时由逆变换公式、有欧拉公式即正弦变换的公式为0cosxd§.2Fourier变换的性质1122121211212[()](),[()](),[()()]()()(5)[()()]()()(6)FourierfxFfxFfxfxFFFFfxfx三、变换的性质(对广义变换也适用)1、线性性质设则其中，为常数，逆变换也成立，即FFFF-§2Fourier变换的性质000102[()](),[()]()(7)[()]()(8)ixixFourierfxFfxxeFFefx三、变换的性质(对广义变换也适用)、位移性质设则FFF3、相似性质()F=ℱ()fx若0c则ℱ()fcx1Fcc证明：1(),0[()]()1(),011()()sicscxitsiciscfsedsacfcxfcxedtfsedsacfsedsFcccF§2Fourier变换的性质1()()||()0,['()][()]()()(9))[()]()((10)||()0,(0,1,2,...1)5[()]nnkFourierxfxfxfxiFfxiFxfxknxfx三、变换的性质(对广义变换也适用)4、微分性质若当时，则有一般地，有）其中,当时,、FFFF()dFid§2Fourier变换的性质12111212111122121211212i)()()(,)()()()()()()()()ii[()](),[()]()[()*()]()()[()()]()*(fxfxffxdfxfxfxfxffxdfxFfxFfxfxFFFFfxf6、卷积性质卷积定义：设，定义在上，则称积分为与的卷积，记作*)卷积定理设，则FFFF1212)1[()()]()*()(12)2xfxfxFFF§3Fourier变换法在求解定解问题中的应用221''()()0[()]()()[''()]()()()[()][i()()]()')iFourieruuuUuedFouuiUUuiirieuiUr对方程两端取逆变例：试用变换法求解量子力学中的方程解：即令则由微分性质和象函数的微分。性质，有换FFFF§3Fourier变换法在求解定解问题中的应用33223113()()'()0,()()0(1()(),'()()()ii(1)iii)()()()[)()][]iiiiUiUdUiUdUCUuedUiuedieuUUUFourrCeie于是原方程化为了即。得实际上，由对求导一次，即得)求解常微分方程对取逆变换，得FF33()33122iiicCeeded§3Fourier变换法在求解定解问题中的应用22,-,0(1)()(,0)()(2)(,0)()(3)i)()[(,ttxxtsFouauxtuxxuxxuxturier对Ⅰ的各项例：使用积分变换法求解无界弦的初值问取变题Ⅰ：换。解，得F22222222)](,),[()](),[],[()](),[]()(,)(,)ssssUtxudUxtdtuiUtUtxFFFF微分性质行波法可以求解2222ii()()()(,0)()(,)()cossin()()(),,()(,)()cossin(4)tdUaUdtUUtUAatBatABaUtatata则Ⅰ中的方程和初始条件化为如下形式Ⅱ。这是一个关于的二阶常微分方程，其通解为代入Ⅱ的初始条件可得从而)求解常微分方得程定解问题Ⅱ§3Fourier变换法在求解定解问题中的应用§3Fourier变换法在求解定解问题中的应用11111()(4)()[(,)](,)[()cossin]()[()cos][sin