《概率论与数理统计》北京工业大学―王松桂、程维虎第1讲

概率论与数理统计第一讲主讲教师：程维虎教授北京工业大学应用数理学院概述•随机现象及其统计规律性☆什么是随机现象？☆随机现象的特点☆概率论与数理统计的研究内容☆概率论与数理统计的广泛应用•随机事件的基本概念○随机试验与事件○事件的关系与运算什么是随机现象？人们所观察到的现象大体上分成两类：1.事前可以预知结果：即在某些确定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生，或根据它过去的状态，完全可以预知其将来的发展状态。这样的现象为确定性现象或必然现象。2.事前不能预知结果：即在相同的条件下重复进行试验时，每次所得到的结果未必相同，或即使知道它过去的状态，也不能肯定它将来的状态。这样的现象为偶然性现象或随机现象。下列现象中哪些是随机现象？A.在一个标准大气压下,水在100℃时沸腾；B.明天的最高温度;C.掷一颗骰子，观察其向上点数；D.上抛的物体一定下落；E.新生婴儿体重。√√√××随机现象的特点•对随机现象进行观察、观测或测量，每次出现的结果是多个可能结果中的一个，“每次结果都是不可预知的”；但“所有可能的结果是已知的”。•在一定条件下对随机现象进行大量重复观测后就会发现：随机现象的发生具有统计规律性。例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标(有随机误差)，但多枚炮弹的弹着点就呈现出一定的规律。如：命中率等。再如:测量一件物体的长度，由于仪器或观测者受到环境的影响，每次测量的结果可能有差异，但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加而逐渐稳定在常数，并且各测量值大多落在此常数附近，离常数越远的测量值出现的可能性越小。“天有不测风云”和“天气可以预报”有无矛盾?☆天有不测风云指的是：对随机现象进行一次观测，其观测结果具有偶然性；☆天气可以预报指的是：观测者通过大量的气象资料对天气进行预测，得到天气的变化规律。想一想概率论与数理统计的研究内容随机现象具有偶然性一面，也有必然性一面。偶然性一面表现在“对随机现象做一次观测时，观测结果具有偶然性(不可预知)”；必然性一面表现在“对随机现象进行大量重复观测时，观测结果有一定的规律性，即统计规律性”。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的数学分支。概率论与数理统计有广泛应用(1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定；(2).流水线上产品质量检验与质量控制；(3).服务性行业中服务设施及服务员配置；(4).生物医学中病理试验与药理试验；(5).食品保质期、弹药贮存分析，电器与电子产品寿命分析；(6).物矿探测、环保监测、机械仿生与考古；§1.1基本概念1.1.1随机试验与事件I.随机试验把对某种随机现象的一次观察、观测或测量称为一个试验。如果这个试验在相同的条件下可以重复进行，且每次试验的结果事前不可预知，则称此试验为随机试验，也简称试验，记为E。注：以后所提到的试验均指随机试验。第一章随机事件随机试验举例E1:掷一颗骰子，观察所掷的点数是几;E2:观察某城市某个月内交通事故发生的次数;E3:对某只灯泡做试验,观察其使用寿命;E4:对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小于200小时。对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果所构成的集合却是已知的。若以Ωi表示试验Ei的样本空间,i=1,2,3,4,则◆E1:掷一颗骰子，观察所掷的点数是几，Ω1={1,2,3,4,5,6}；称试验所有可能结果所构成的集合为样本空间，记为Ω。II.样本空间样本空间的元素，即随机试验的单个结果称为样本点。E2:观察某城市某个月内交通事故发生次数，Ω2={0,1,2,…}；E3:对某只灯泡实验，观察其使用寿命，Ω3={t,t≥0}；E4:对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否小于200小时，Ω4={寿命小于200小时，寿命不小于200小时}。III.随机事件把样本空间Ω的任意一个子集称为一个随机事件，简称事件。常用大写字母A,B,C等表示。特别地，如果事件只含一个试验结果(即样本空间中的一个元素)，则称该事件为基本事件；否则为复合事件。例1：写出试验E1的样本空间，下述集合表示什么事件？指出哪些是基本事件：解：Ω1={1,2,3,4,5,6}.A1={1},A2={2},…,A6={6}━━分别表示所掷结果为一点至六点，都是基本事件；B={2,4,6}━━表示所掷结果为偶数点，复合事件；C={1,3,5,}━━表示所掷结果为奇数点，复合事件；D={4,5,6}━━表示所掷结果为四点或四点以上，复合事件。(1).由于样本空间Ω包含了所有的样本点,且是Ω自身的一个子集。故,在每次试验中Ω总是发生。因此,称Ω为必然事件。(2).空集不包含任何样本点，但它也是样本空间Ω的一个子集，由于它在每次试验中肯定不发生，所以称为不可能事件。注意:只要做试验,就会产生一个结果,即样本空间Ω中就会有一个点(样本点)出现。当结果A时，称事件A发生。1.1.2事件的关系与运算I.集合与事件回忆:做试验E时,若A,则称事件A发生。集合A包含于集合B:若对A,总有B,则称集合A包含于集合B,记成AB。事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，则称事件A包含于事件B,记成AB。若AB,且BA,则称事件A与B相等,记成A=B。集合A与B的并或和：若C,当且仅当A或B,则称集合C为集合A与B的并或和,记成A∪B。事件A与B的并或和：若事件C发生,当且仅当事件A或B发生,则称事件C为事件A与B的并或和,记成A∪B。无穷多个事件A1,A2,…的和n个事件A1,A2,…,An的和C发生就是A1,A2,…,An中至少一个事件发生。C发生就是A1,A2,…中至少一个发生。niiAC11iiAC集合A与集合B的交或积：若C,当且仅当A且B,则称集合C为集合A与B的交或积，记成A∩B或AB。事件A与B的积或交：若事件C发生，当且仅当事件A与B同时发生,则称事件C为事件A与B的积或交，记成A∩B或AB。特别地,当AB=Ø时，称A与B为互斥事件(或互不相容事件)，简称A与B互斥。也就是说事件A与B不能同时发生。例1(续)：A1={1},A2={2},于是A1A2=Ø。故A1与A2互斥；B={2,4,6},C={1,3,5},于是BC=Ø，故B与C也互斥。无穷多个事件A1,A2,…的积n个事件A1,A2,…,An的积C发生就是A1,A2,…,An都发生。C发生就是A1,A2,…都发生。niiAC11iiAC集合A与集合B的差：若C当且仅当A且B，则称集合C为集合A与B的差，记成A-B。事件A与B的差：若事件C发生当且仅当事件A发生且事件B不发生，则称事件C为事件A与B的差,记成A－B。特别地，称Ω-A为A的对立事件(或A的逆事件、补事件)等，记成。例1(续)：A1={1},B={2,4,6},于是就是A不发生。}5,3,1{}6,5,4,3,2{1BAAA交换律:A∪B=B∪A，AB=BA；结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A(BC)=(AB)C；分配律:A(B∪C)=AB∪AC，A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)；对偶律:II.事件的运算法则(与集合运算法则相同)；，BAABBABA.,BAABABABA还有不是A,B中至少有一个发生A,B均不发生对于多个随机事件,上述运算规则也成立A(A1∪A2∪…∪An)=(AA1)∪(AA2)∪…∪(AAn)，.,21212121nnnnAAAAAAAAAAAA小结本节首先介绍随机试验、样本空间的基本概念，然后介绍随机事件的各种运算及运算法则。