离散数学 环与域

2020/1/19DiscreteMathematics离散数学2020/1/19Ring（环）and（域）FieldsChapter62020/1/19§6.1定义及基本性质(1)6.1.1环假设A,+,*是一个代数系统，其中，+和*都是集合A上的二元运算，如果满足：（1）A,+是交换群（Abel群）；（2）A,*是半群；（3）*对+是可分配的；则称A,+,*是一个环(Ring)。§6.1定义及基本性质(1)6.1.1环例Z,+,是一个环。例Q,+,是一个环。例R,+,是一个环。Z,+是Abel群。Z,是半群。对+是可分配的;整数环例Zm,+m,m是一个环。模m剩余环。5例n阶整数矩阵所成集合(Z)n,关于矩阵的加法与乘法作成一个环．n阶有理数矩阵集合(Q)n，n阶实数矩阵集合(R)n,在矩阵加法与乘法运算下也均构成环。例x的一切整（有理、实）系数多项式所成集合Z[x]（Q[x]，R[x]）在多项式加法与乘法运算下构成环．6例设i是虚数单位，即i2＝－1，令Z（i）=｛a+bi｜a，b∈Z｝则Z（i）,+,是一个环。通常称作高斯环．2020/1/19§6.1定义及基本性质(2)6.1.2环的性质假设A,+,*是一个环。（1）因为A,+是Abel群，所以+满足结合性、交换性、消去律，A,+中有单位元。2020/1/19约定：an=a+a+…+a=na；对a,bA,(a+b)n=na+nb;am+n=am+an=(m+n)a;amn=(am)n=n(ma)。§6.1定义及基本性质(3)6.1.2环的性质2020/1/19§6.1定义及基本性质(4)6.1.2环的性质（2）假设e是A,+的单位元，对a,b,cA有：①a*e=e*a=e(0*a=a*0=0)Z,+,,+单位元0，是的零元2020/1/19§6.1定义及基本性质(4)6.1.2环的性质（2）假设e是A,+的单位元，对a,b,cA有：②a*b-1=a-1*b=(a*b)-1例Z,+,,+单位元0，是的零元23-1=2-13=(23)-1=-62020/1/19§6.1定义及基本性质(4)6.1.2环的性质（2）假设e是A,+的单位元，对a,b,cA有：③a-1*b-1=a*b例Z,+,,+单位元0，是的零元2-13-1=23=62020/1/19§6.1定义及基本性质(4)6.1.2环的性质（2）假设e是A,+的单位元，对a,b,cA有：④a*(b+c-1)=(a*b)+(a*c)-1⑤(b+c-1)*a=(b*a)+(c*a)-1§6.1定义及基本性质(4)6.1.2环的性质（2）假设e是A,+的单位元，对a,b,cA有：①a*e=e*a=e0a＝a0＝0②a*b-1=a-1*b=(a*b)-1a(－b)＝(－a)b＝－(ab)③a-1*b-1=a*b;(－a)(－b)＝ab④a*(b+c-1)=(a*b)+(a*c)-1a（b－c）＝ab－ac⑤(b+c-1)*a=(b*a)+(c*a)-12020/1/19例1：假设G,*是一个二阶群，则GG,*是一个Klein群。e,ea,aa,aa,ee,aa,aa,ae,aa,ea,ee,ae,aa,ee,ae,ee,ee,e*e,ae,ea,ea,aa,ae,ea,ee,e记为e,e,a记为a,a,e记为b,a,a记为c,2020/1/19K,*是Klein四元群。K={e,a,b,c};“.”运算定义如下，则K,*，.是环。eccbaccabbaabaeee*aebcceb2020/1/19（2）K，.是半群（封闭、可结合）x，y，zK有(x.y).z=x.(y.z)若z=e或z=b则(x.y).z=e=x.(y.z)若z=a或z=c则(x.y).z=x.y=x.(y.z)所以K，.是半群*对.可分配（1）K,*是Abel群eccbaccabbaabaeee*aebcceb2020/1/19.对*是可分配(y*z).x=(y*x).(z*x);x.(y*z)=(x*y).(x*z)若x=e或x=b则(y*z).x=e=e.e=(y*x).(z*x)若x=a或x=c则(y*z).x=y*z=(y*x).(z*x)同理：x.(y*z)=(x*y).(x*z)所以K,*，.是环eccbaccabbaabaeee*aebcceb2020/1/19例2：s是非空集合，P(s)是幂集，在P(s)上定义二元运算和*，则P(s),+，*是环。A+B={x|xS(xAxB)xAB}A*B=ABA，BP(s)（1）封闭，{a}+{a,b}={b},…可结合，({a}+{a,b})+{c}={a}+({a,b}+{c}),…可交换,{a}+{a,b}={a,b}+{a},…单位元，逆元，{a}+{a}=,{a}自身为逆元,…P(s),+是abel群（2）P(s),是半群，可结合({a}{a,b}){a,b,c}={a}({a,b}{a,b,c})(3)对+可分配{a}({b}+{a,b})={a}{b}+{a}{a,b}S={a，b，c}，P(s)={，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}},A，BP(s)例3：证明任一环的同态象也是一环。证明:设A,+,*是一环,且f(A),,是关于同态映射f的同态象。由A,+是Abel群，易证f(A),也是Abel群。是A,*半群，易证f(A),也是半群。现只需证：对是可分配的。3,2,1,)(:使得,,则必有相应的),(,,321321ibafaaaAfbbbii)()())()(())()(()()())()(())(())(()())()(()()(3121312131213121321321321321bbbbafafafafaafaafaaaafaaafaafafafafafbbb同理可证)()()(1312132bbbbbbb,,)(Af因此也是环。2020/1/19§6.1定义及基本性质(5)6.1.3由*运算确定的几种环（1）在环A,+,*中，如果A,*是含幺半群，并且e’是单位元，则称e’为环的单位元。这时称A为有单位元的环（有/含幺环）。如果元素a在A,*中有逆元，则在含有单位元的环中，该元素的逆也称为环中元素的逆。§6.1定义及基本性质(6)6.1.3由*运算确定的几种环（2）如果环中只含有一个元素，此时该元素应该是A,+中的单位元，当然也是A,*中的零元，所以这种环称为零环。环A＝｛０｝称为零环.24定理１设A为有单位元的环，且不只含一个元素，则１≠０．(０加法单位元，１乘法单位元)证明a∈A，a=a·１＝a·０＝０.故A只含一个元素０，矛盾．以后提到有单位元的环时，总指非零环．因此１≠０总成立．例3：全体整数按普通加法和普通乘法构成有单位元的环。全体偶数按普通加法和普通乘法构成环，但无单位元。摸m的全体剩余类构成什么环？如：Z4,+4,4是一个环；Z5,+5,5是一个环。实系数多项式的全体按普通加法和普通乘法构成什么环？全体n阶方阵按矩阵的加法和乘法构成什么环？（3）设A,+,*是环，当A,*是可交换半群时，称A,+,*是可交换环。设A为有１的环，a∈A，如果a在〈A，·〉中有逆元，则称a为A中的可逆元．并把a在半群〈A，·〉中的逆元，称为a在环A中的逆元，用a-1表示．有１的环A中所有可逆元在乘法运算下构成一个群（？），该群记为A*，并称为环A的乘法群.§6.1定义及基本性质2020/1/196.2.1零因子设A,,*是环，如果存在a,bA，这里a，b，但a*b=，则称a为A中的左零因子，b为A中的右零因子，左、右零因子统称为零因子。§6.2整环、除环和域(1)§6.2整环、除环和域(2)6.2.1零因子例如：Z4,+4,4是一个环。其中,+4,4的运算表如下：[3][2][1][3][2][1][0][0][0]+4[1][2][3][1][2][3][2][3][0][3][0][1][0][1][2][0][0][0][0][0][0][0][0][0]4[1][2][3][1][2][3][1][2][3][2][0][2][3][2][1]4是否有零因子？[2]4[2]=[0]在Z6,+6,6中有零因子？[2]6[3]=[0]2020/1/19§6.2整环、除环和域(2)6.2.1零因子例如Z5,+5,5是一个环。其中,+5,5的运算表如下：[0][0][0][0][0][0][0][0][0]5[1][2][3][1][2][3][1][2][3][2][4][1][3][1][4][4][4][0][4][3][2][0][4][2][2][1]无零因子。30例对于剩余环〈Zm，＋m，×m〉，证明若m不是素数，则Zm中必存在零因子．证明：Zm中的零元为［０］．因为m不是素数，故存在整数n1，n2，使m＝n1n2，１＜n1≤n2＜m因此［n1］≠［０］，［n2］≠［０］，但［n1］×m［n2］＝［０］.即［n1］，［n2］是Zm的一对零因子．31例用(R)2表示２阶实数矩阵集合，＋，·表示矩阵的加法与乘法，则〈(R)2，＋，·〉是一个环。000010000001存在一对零因子。§6.2整环、除环和域2020/1/19§6.2整环、除环和域6.2.1零因子当一个环中不含有零因子时，称它为无零因子环。即对任意的a,bA，若a*b=，则必有a=或b=。定理1：设A,+,*是无零因子的环，则*在A上消去律成立。a*c=b*c或c*a=c*b得a=b;反之亦然。33证明设R中无零因子，c≠0,，如果ac＝bc，则ac－bc＝０，（a－b）c＝０.由于c≠０，R中无零因子，故a－b＝０,即a＝b.同理ca＝cba＝b;反之，设环R中乘法消去律成立，若R中有零因子a，b，使得ab＝０＝a０，由消去律得b＝０，矛盾．故R中必无零因子．§6.2整环、除环和域2020/1/19§6.2整环、除环和域6.2.2整环设A,,*是无零因子环，并且是可交换的含幺环，则称它为整环。即A,,*是环，并且A,*有单位元，*运算可交换，对a,bA，若a*b=，则必有a=或b=。2020/1/19§6.2整环、除环和域例4：全体有理数按普通加法和普通乘法构成无零因子的交换环，所以是整环。全体实数、复数？36例整数环〈Z，＋，·〉是一个整环，高斯环〈Z[i]，＋，·〉是一个整环．例若p是一个素数，则〈Zp，＋p，×p〉是一个整环．（若［i］×p［j］=［０］，则［ij］＝［０］，因而p｜ij．故p｜i或p｜j，［i］＝［０］或［j］＝［０］）〈Zn，＋n，×n〉是整环n为素数§6.2整环、除环和域例4：s是集合，P(s)是幂集，在P(s)上定义二元运算和*，则P(s),+，不是整环。A+B={x|xS(xAxB)xAB}AB=AB因为S是P(S),中的单位元，并且S，若S1是S的任意真子集（S1S）,并且S1，则S2=S-S1但是S1S2=S1S2=所以P(S),+，中含有一对零因子S1,S2。故P(S),+，不是整环。A，BP(s)2020/1/19例5：证明{0,1},,是一个整环，其中运算和定义如下图。11