3.2.2 直线的两点式方程

3.2.2直线的两点式方程两点决定一条直线，那么由两个点的坐标可以求出过这两点的直线的方程。解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）一般做法：342，，kbkb由已知得：12kb，，解方程组得：所以，直线方程为:y=x+2.待定系数法方程思想已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．还有其他的方法吗？还有其他做法吗？432143312120由斜率公式得到斜率再由直线的点斜式方程得，化简可：得解.().kyxxy343121，yx即：得:y=x+2.解：设P(x,y)为直线上不同于P1,P2的动点,与P1(1,3)，P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：112PPPPk=k1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围.(重点)2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.3.掌握中点坐标公式.(重点)4.通过四种形式方程的对比，掌握类比思想.(难点)解：设点P(x,y)是直线上不同于P1,P2的点．211121,yyyyxxxx所以因为kPP1=kP1P2,已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2）,求通过这两点的直线方程．探究点1经过两点的直线的方程211121.xyyxyyxx可得直线的两点式方程：记忆特点：1.左边全为y，右边全为x.2.两边的分母全为常数.3.两边分子，分母中的减数分别相同.是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程呢？112121yyxxyyxx提示：两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线的方程．那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?当x1＝x2或y1=y2时,直线P1P2没有两点式方程.(因为x1＝x2或y1=y2时,两点式方程的分母为零,没有意义)提示：不是!若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1=y2,此时过这两点的直线方程是什么?当x1＝x2时方程为：x＝x1或x＝x2当y1=y2时方程为：y=y1或y=y2提示：经过A(1,-2),B(-3,4)两点的直线的方程是()A.B.C.D.y2x14231y2x14231y2x14231y2x14231C【即时训练】y-0x-a=b-00-axlB(0,b)A(a,0)Oy解：将A(a，0），B（0，b)的坐标代入两点式得：xy即+=1.ab例1已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.(2015·昆明高一检测)若直线l经过A(2,-1),B(2,7),则直线l的方程为.【解题关键】由于点A与点B的横坐标相等,所以直线l的斜率不存在,不能用两点式表示.【解析】由于点A与点B的横坐标相等,所以直线l没有两点式方程,所求的直线方程为x=2.x=2【变式练习】1.xyab直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线方程的截距式方程.在y轴上的截距在x轴上的截距截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.探究点2直线的截距式方程直线-=1在两坐标轴上的截距之和为()A.1B.-1C.7D.-7B【即时训练】4y3x例2已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为：这就是BC边所在直线的方程.，y-2x-0=-3-23-0整理得，5x+3y-6=0.设点为则标为3+0-3+231BC的中M,M的坐（，），即（，-）.2222过线为这边线线31y-0x+5A(-5,0),M（，-）的直方程=,1322--0+522整理得x+13y+5=0.就是BC上的中所在直的方程.1112221212以P（x，y),P(x,y)为端点的线段的中点坐标为x+xy+y（,).22中点坐标公式(2015·乐山高一检测)求过点A(3,4),且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.【解题关键】典例中过点A的直线在坐标轴上截距互为相反数,该直线可否经过原点?提示:当直线过原点时,此直线在两坐标轴上的截距都为零,也符合条件,因此需分情况求解.【变式练习】【解析】(1)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且不为0时,可设直线l的方程为又l过点A(3,4),所以解得a=-1.所以直线l的方程为即x-y+1=0.(2)当直线l在坐标轴上截距互为相反数且为0时,直线的方程为即4x-3y=0..xy1aa,341aa,xy111,4yx3例3求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.xy分析：截距均为0时，设方程为y=kx,截距均不为0时，设为截距式求解.O解：当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4)代入上式得即直线方程为当截距均不为0时，设直线方程为把P(-5，4)代入上式得直线方程为即综上：直线方程为或4.5yx4,5k1,xyaa1.a1,xy10.xy45yx10.xy截距为零不容忽视设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【变式练习】解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等.所以a=2,方程即为3x+y=0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得=a-2,即a+1=1,所以a=0，即直线方程为x+y+2=0.所以直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.a2a11.(2015·杨浦区高一检测)已知直线l经过点A(1,-2),B(-3,2),则直线l的方程是()A.x+y+1=0B.x-y+1=0C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0A【互动探究】在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程为()A.4x+3y-12=0B.4x-3y+12=0C.4x+3y-1=0D.4x-3y+1=0B2.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为()1132A.B.-C.-D.3323B解:⑴两条那还有一条呢？y=2x(与x轴和y轴的截距都为0)所以直线方程为：x+y-3=0a=3121aa把(1,2)代入得：1xyaa设直线的方程为:3.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?4.根据下列条件求直线的方程（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；由截距式得：整理得：123xy3260xy由截距式得：整理得：156xy65300xy5.根据下列条件求直线的方程（1）过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2；（2）过点（5，0），且在两坐标轴上的截距之差为2；5x-3y+15=03x+5y-15=0或7x+5y-35=0直线方程名称直线方程形式适用范围点斜式斜截式两点式截距式00()yykxx112121yyxxyyxx1xyab不垂直x轴不垂直x轴不垂直坐标轴不垂直坐标轴且不经过原点ykxb