3.2.2利用空间向量证明平行、

第1页共61页3.2.2利用空间向量证明平行、垂直关系第2页共61页自学导引(学生用书P80)会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤.第3页共61页课前热身(学生用书P80)第4页共61页1.空间中的平行关系主要有__________、__________、__________,空间中的垂直关系主要有__________、__________、__________.2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是__________即可.线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直共线向量第5页共61页3.证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量___________.(2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量__________.(3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量是__________.垂直共线共面向量第6页共61页4.证明面面平行的方法(1)转化为__________、__________处理;(2)证明这两个平面的法向量是__________.5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量__________.6.证明线面垂直的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是__________;(2)证明直线与平面内的__________.线线平行线面平行共线向量互相垂直共线向量两条不共线向量互相垂直第7页共61页7.证明面面垂直的方法(1)转化为__________、__________;(2)证明两个平面的法向量__________.线线垂直线面垂直互相垂直第8页共61页名师讲解(学生用书P80)第9页共61页1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面α内找到一条直线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证明a=λb即可.2.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个向量a、b,只要证明a⊥b,即a·b=0即可.第10页共61页3.证明线面垂直:直线l,平面α,要让l⊥α,只要在l上取一个非零向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0.4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、线线垂直.第11页共61页典例剖析(学生用书P80)第12页共61页题型一证明线面平行例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD.分析:分析1,如下图,易知MN∥DA1因此得方法1.第13页共61页:证明第14页共61页111111111111MNA112211(),2BD,MNABD.2//.MNCNCMCBCCDADDDAMNDA平面平面第15页共61页12:,ABD.MN分析建立直角坐标系证明与平面的法向量垂直1111:,Axyz.1,A0,0,1,B1,0,0,D0,1,011(1,1,),(1,,1).22,ABDnx,y,zn?n11(0,,)22000x1,y1,z1n1,1,10.MNMNADAByzxz证明如上图建立空间直角坐标系设棱长为则可求得设平面的法向量为则且得取则第16页共61页1111002n,MNABD.MNABD2.MNnMN又平面平面第17页共61页变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面边长为2,E是棱BC的中点,求证:BD1∥平面C1DE.第18页共61页证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图,则B(2,2,0),D1(0,0,3),E(1,2,0),C1(0,2,3),第19页共61页11111111112,2,31,2,01,0,3(2,2,,1,1.,BDCDE,BDC3),(1,2,0),(1,0,3).,2,22,33,DE.,BDDEECBDDEECBDDEEC设即得解得与共面又面面第20页共61页题型二证明线面垂直例2:如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.第21页共61页分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向量平行.第22页共61页证明:方法1:设A1B1的中点为G,连结EG,FG,A1B.则FG∥A1D1,EG∥A1B.∵A1D1⊥平面A1B.∴FG⊥平面A1B.∴AB1⊂平面A1B,∴FG⊥AB1,∴A1B⊥AB1,∴EG⊥AB1.∴EF⊥AB1.同理EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC.第23页共61页2222111111111,,1,1()22: bacacb ba0011()(),22.10()()21212.ABaADcAAbEFEBBFBBBDAABDabcABABAAabEFABabcab方法设则1111111EFAB,EFBC.ABBCB/,EFBAC,./EFAB即同理又平面第24页共61页方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标系,第25页共61页111(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1).(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2).(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0).A2,0,0,C0,2,0,B2,2,2,E2,2,1,F1,1,(1,1,1)(0,2,22.102)1210. EFABACEFABEFAC则而1111,1,12,2,02200,EFAB,EFAC.ABACA,EFBAC.又平面第26页共61页规律技巧:(1)方法1是传统的几何法证明,利用线面垂直的性质及判定,需添加辅助线.方法2选基底,将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计算来证明.方法3建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算,以达到证明的目的.(2)几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数运算属程序化操作,规律性较强,但有时运算量大,两种处理方法各有优点,不能偏废.第27页共61页2:,PABCD,ABCD,CBABAD9120,BCBAAD1,PAABCD,PA1.:CDPAC.变式训练如下图四棱锥中底面为直角梯形平面求证平面第28页共61页分析:由判定定理,只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直线即可,或者用向量法证明CD的方向向量与平面PAC的法向量平行.第29页共61页证明:方法1:如下图,分别以AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),第30页共61页(1,1,0),(1,10,0,1,11110,CDAC,CDAP,CDPAC.,0),0,ACCDAPCDACCDAP同理平面第31页共61页2:1,PACnx,y,0,,00000(1zyx,x1,PACn1,1,0,n,CDPA,1,0.).CnAPnACxyzxyCDnCD方法建系同方法设平面的法向量令平面的一个法向量平面第32页共61页题型三证明面与面垂直例3:三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1.分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直.第33页共61页证明:方法1:取AB的中点E.∵三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,∴CE⊥AB且AA1⊥CE,得CE⊥面ABB1A1.第34页共61页另取AB1中点M,得MD∥CE.∴MD⊥面ABB1A1.又∵MD⊂面AB1D,∴面AB1D⊥面ABB1A1.第35页共61页111111,,,1().212:,ABM,ABE,()211()0,(22ABACAACEDMDMCECACBDMAACACBAACAAACBAADMABC方法取为空间基底另取中点中点则由题意可得111111111AB)1()0,2,,AAADMABBA.DMABD,ABDABBA.ACBABCAABCBABDMABDMAADMABDMAA即且平面又面面面第36页共61页方法3:建系如下图,正三棱柱底面边长为a,高为a,取AB1的中点M,则相关点的坐标如下:第37页共61页1111111113(0,,),(0,0,),(,0,0),2222(,0,0),(,0,)223(0,,0),(0,0,),2(,0,0),0,DMABBA.DMABD,ABDABBA0.,aaaDaMAaaBAaDMaAAaABaDMAADMAB则得面又面面面第38页共61页规律技巧:证明面面垂直有传统方法和向量法两种途径,传统方法考查逻辑思维能力较多,常需作辅助线解决,思维量大,向量法思维量小,但有时运算量较大,特别是建系时一定要根据题目所给空间体建立合适的坐标系,建系不当,会人为增加计算的难度.第39页共61页变式训练3:如图所示,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2.(1)求证:A1C1与AC共面,B1D1与BD共面;(2)求证:平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.第40页共61页证明:以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,则有D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).第41页共61页1111111111111111(1,1,0),(2,2,0),(1,1,0),(2,2,0) 1AC,.ACAC,BD.BD..2,2ACACDBDBACACBDDBACDBDB与平行与平行于是与共面与共面第42页共61页1111111111111(0,0,2)(2,2,0)0,(2,2,0)(2,2,0)0,2DDDBBBDD,ACBBDD.AACCAC,AACCBBD,.D.DDACDBACDDACDBAC与是平面内的两条相交直线平面又平面过平面平面第43页共61页技能演练(学生用书P82)第44页共61页基础强化1.在空间直角坐标系中,平面xOz的一个法向量是()A.(1,0,0)B.(0,1,0)C.(0,0,1)D.(0,1,1)答案:B第45页共61页2.平面α的一个法向量为(1,2,0),平面β的一个法向量为(2,-1,0),则平面α与平面β的关系是()A.平行B.相交但不垂直C.相交且垂直D.无法判定答案:C第46页共61页3.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,则AC与平面DEF的位置关系是()A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定答案:A解析:如图所示,易知EF∥AC,又AC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,∴AC∥平面DEF.第47页共61页4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A答案:B第48页共61页解析:如图,∵B1D1⊥CC1,B1D1⊥A1C1,又CC1∩A1C1=C1,∴B1D1⊥平面AA1C1C,而CE平面AA1C1C,∴B1D