小学奥数 加法、乘法的简便运算

加法具有以下两个运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即a+b=b+a，其中a，b各表示任意一数。例如5+6=6+5，一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。例如，a+b+c+d=d+b+a+c=…其中a，b，c，d各表示任意一数。加法交换律和加法结合律加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，其中a，b，c各表示任意一数。例如，4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7)。一般地，多个数(三个以上)相加，可先对其中几个数相加，再与其它数相加。把加法交换律与加法结合律综合起来应用，就得到加法的一些巧算方法。在进行加减运算时，为了又快又准确地算出结果，除了要熟练地掌握运算法则外，还需要掌握一些常用运算方法和技巧。•在速算与巧算中常用的三大基本思想：1.凑整（目标：整十整百整千...）2.分拆（分拆后能够凑成整十整百整千...）3.组合(合理分组再组合)1.凑整法（补数法）2.去括号添括号法则3.带符号搬家“+”,“-”4.合理分组5.基准数法（标准数）6.公式法（等差数列...）7.靠经验来做题（多种方法的综合应用）接下来我们进行演练两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。又如：11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”也就是说两个数互为“补数”。•把接近整十、整百、整千的数看作所接近的整数进行凑整。•凑整之后，对于原数与整十、整百、整千相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。另外可以结合交换律、结合律进行计算。先运用交换律与结合律把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来，然后再与其它的数相加。计算：(1)23＋54＋18＋47＋82；解：＝(23＋47)＋(18＋82)＋54＝70＋100＋54＝224；(2)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=(1+19)+(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)=20+20+20+20+20=100325＋46-125＋54=325-125＋46+54=（325-125）+（46＋54）=200+100=30019+12-19+3+4-12=19-19+12-12+3+4=3+4=7(1)53＋64＋136＋37＝（53＋37）＋(64＋136)＝90＋200＝290(2)1350＋49＋68＋51＋32＋1650＝(1350＋1650)＋(49＋51)＋(68＋32)＝3000＋100＋100＝32001.在加、减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“-”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“-”，“-”变为“＋”a+(b+c)=a+b+c,a+(b-c)=a+b-ca-(b+c)=a-b-c，a-(b-c)=a-b+c如：43+(38＋45)＋(55＋62＋57)=43+38+45+55+62+57=（43+57）+（38+62）+（45+55）=100+100+100=3002.在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”号，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“-”号，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“-”变为“＋”。a+b+c=a+(b+c)a+b-c＝a+(b-c)a-b+c=a-(b-c)a-b-c＝a-(b+c)如：100-10-20-30=100-（10+20+30）=100-60=40(1)372-（54+72）(2)523-（175+123）(3)1000-90-80-20-10例3.合理分组(1)875-364-236=875-(364＋236)=875-600=275(2)1847-1928＋628-136-64=1847-(1928-628)-(136＋64)=1847-1300-200＝347计算：(1)875-364-236；(2)1847-1928＋628-136-64；(3)1348-234-76＋2234-48-24。解：(1)875-364-236=875-(364＋236)=875-600=275；(2)1847-1928＋628-136-64=1847-(1928-628)-(136＋64)=1847-1300-200＝347；(3)1348-234-76＋2234-48-24=(1348-48)+(2234-234)-(76＋24)=1300＋2000-100＝3200。计算:(1)512-382(2)6854-876-97例4.加补凑整法=(500＋12)-(400-18)=500+12-400+18=(500-400)＋(12＋18)=100＋30=130=6854-(1000-124)-(100-3)=6854-1000＋124-100＋3=5854+24+3=5881；(1)397-146＋288-339(2)402+503-387-98=397＋3-3-146＋288＋12-12-339=(397＋3)＋(288＋12)-(146＋3＋12＋339)=400＋300-500=200=(400+500-400-100)+(2+3+3+2）=410有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。例如，计算976＋85，可在85中借出24，即把85拆分成24＋61，这样就可以先用976加上24，“凑”成1000，然后再加61。计算(1)57＋64＋238＋46(2)4993＋3996＋5997＋848例4.借数凑整法＝57＋(62＋2)＋238＋(43＋3)＝(57＋43)＋(62＋238)＋2＋3＝100＋300＋2＋3＝405=4993＋3996＋5997＋(7＋4＋3＋834)=(4993＋7)＋(3996＋4)＋(5997＋3)＋834=5000＋4000＋6000＋834＝15834。几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85=80×8-2-4+3+2-3-1+5=640102+105+99+101+98=100×5+2+5-1+1-2=500+5=505例5.基准数法（标准数）（1）999+98+37+6（2）99-1+98-2+97-3+96-4=（999+1）+（98+2）+（37+3）=1000+100+40=1140=100×4-（1+2+3+4）×2=400-20=380这时老师笑眯眯地说：“平时我们计算多位数乘法时，都想熊宝宝一样，要一位一位地去乘，运算起来比较麻烦。而当一些数为特殊数时我们可以用简便方法计算，下面我们就来研究“乘法的巧算”第二讲乘法的巧算速算巧算方法一：1、两数的乘积是整十、整百、整千的要先乘2×5=1025×4=1008×125=100016×625=10000牢记左面四个特殊的等式例1：巧算下面各题：25×13×125×4×8=（25×4）×（125×8）×13=100×1000×13=1300000乘积是整数的先乘1、27×125×8=27×（125×8）=27×1000=270002、25×4×16×625=（25×4）×（16×125）=100×10000=1000000例2：巧算下面各题：25×48×125×2=25×4×4×3×125×2=(25×4)×(4×125×2)×3=100×1000×3=300000分解因数，凑整先乘1、25×64×19×125=25×（4×2×8）×125×19=（25×4）×（8×125）×2×19=100×1000×2×19=3800000例3：巧算下面各题：25×29分解质数，凑整先乘=25×（4×7+1）=（25×4×7）+25×1=700+25=7251、41×25=(4×10+1)×25=4×10×25+1×25=1000+25=1025速算巧算方法二：2、应用乘法分配率两个数相加(或相减)再乘另一个数,等于把这个数分别同两个加数（减数）相乘,再把两个积相加（相减）,得数不变。用字母表示：（a+b）xc=axc+bxc还有一种表示法：ax(b+c)=ab+ac123×101=123×（100+1）=123×100+123×1=12300+123=12423应用乘法分配率例4：巧算下面各题：1、77×102=(100+2)×77=100×77+2×77=7700+154=7854速算巧算方法三：3、几种特殊因数的巧算一个数×9，数后添0，再减此数一个数×99，数后添00，再减此数一个数×999，数后添000，再减此数……例5如：12×9=120-12=108如：12×99=1200-12=1188如：12×999=12000-12=11988例6一个偶数乘以5，可以除以2，添上0如：12×5=60如：16×5=80如：116×5=5801、34×5=1702、66×5=330两位数与11相乘，只要把这个两位数拉开，个位数字做积的个位；十位数字做积的百位；个位数字与十位数字相加做积的十位数字，如果满十就向百位进一。例7两位数与11相乘，“两头一拉，中间相加”如：12×11=1321、69×11=3、35×11=2、47×11=759517385例8“头同尾和十”，十位上的数相同，个位数字之和为10。尾数相乘的积作为后两位数，把十位数乘以本身加1的积作为前两位数63×67=（6×7）（3×7）=42211、75×75=3、46×44=2、57×53=562530212024例9“尾同头和十”，个位上的数相同，十位数字之和为10。十位数字相乘加上个位数后扩大100倍，再加上个位数乘以个位数的积。63×43=（6×4+3）×100+3×3=2700+9=27091、74×34=3、26×86=2、47×67=251631492236小结1、两数的乘积是整十、整百、整千的要先乘（1）分解因数，凑整先乘（2）分解质数，凑整先乘2、应用乘法分配率