高等数学上复习

高等数学期末辅导高等数学上复习高等数学期末辅导题目类型：选择，填空，计算，证明，综合考试注意事项：签名，时间控制，先易后难，答题规范。考试形式：闭卷考试时间：2小时高等数学期末辅导一、极限计算•主要方法：两个重要极限，无穷小替换，罗必塔法则，其他方法（有理化、定积分定义等），特别注意各种方法的结合。如无穷小+罗必塔，罗必塔+积分上限函数等。或高等数学期末辅导注意与01sinlim0xxx区别例15151551sinlim51sinlimxxxxnx例2.求解:令,arcsinxt则,sintx因此原式tttsinlim0ttsin1高等数学期末辅导例3nnnnnnnn3331lim31lim33331limennn注意“凑”的技巧，想法凑成公式需要的形式。高等数学期末辅导例4计算16x5373limxxx解：16x16x5321lim5373limxxxxx416532253x5321limexxxx453162253x5321limexxxx高等数学期末辅导例5：求下列极限：)sin1(sinlim)1(xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示:xxsin1sin)1(21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界高等数学期末辅导令1lim)2(x1xt0limt)1(sin)2(ttt0limttttsin)2(0limtttt)2(2xxsin12机动目录上页下页返回结束0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121()1(ln12xxxx12～)(lim12sincos0xxxxx12e高等数学期末辅导常用等价无穷小:xsin～;x～xcos1～;221x～xarcsin～;x～1xe～;x～1)1(x～;x.sintanlim30xxxx30limxxxx原式32210limxxxx例1.求解:原式高等数学期末辅导例2.求.1cos1)1(lim3120xxx解:高等数学期末辅导例计算7253-xlim23xx解：7253-xlim23xx7257257253-xlim2223xxxx23x2183-xlim10x6593-xlim523xx分子或分母有理化高等数学期末辅导)()(lim)3xFxfax存在(或为))()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与axFxf罗必塔法则高等数学期末辅导例1.求解:原式lim1x型00266lim1xxx23注意:不是未定式不能用洛必达法则!266lim1xxx166lim1x332x1232xx高等数学期末辅导型.)tan(seclim2xxx解:原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim2例2.求例3.求.lim0xxx型00解:xxx0limxxxeln0lim0e1高等数学期末辅导例4.求.sintanlim20xxxxx解:注意到～原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型00高等数学期末辅导分析:203cos1limxxx30limxx例5.原式xsin～x1coslim0xxxxsin222103limxxxxcos1～221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim高等数学期末辅导)sin(2cosxex例6.求解:原式0limx00x2e21说明目录上页下页返回结束例7.确定常数a,b,c的值,使解:.0b原式=c≠0,故.1a又由～,得.21c高等数学期末辅导)(0处连续在点函数xxf(1))(0处的极限值处的函数值等于在该点在点函数xxfxfxfxx00lim)(0)(lim00xfxfxx0lim0yx是处极限存在的充要条件在点函数0)(xxf(2))(0等处的左右极限存在且相在点函数xxfAxfAxfAxfxx00lim000且二、连续性（分段函数情形）高等数学期末辅导例1　　　　　　设0031lnxAxxxxf在x=0处连续,则A=()解：计算函数值f(0)＝A,计极限值3)(lim0xfx所以A=3高等数学期末辅导例1.设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:20)cos1(lim)0(xxafx2a221~cos1xx)(lnlim)0(20xbfxblnbaln122e高等数学期末辅导例2-12-1a1-1)(xbxxxxxf函数则处连续在,x1a=(0),b=2解：计算函数值，？af)1(计极限值？，)(lim1xfx此时，要考察左右极限，0)(lim)01(1？xffx右极限左极限bxffx2)(lim)01(1？由连续的定义，可得a=(0),b=2高等数学期末辅导三、导数与微分•计算、应用、证明•导数定义（分段点可导性讨论，计算）•复合函数求导，隐函数求导，参数方程确定函数求导•导数几何意义（切线法线计算）•单调区间，凹凸区间，求最大最小值•证明高等数学期末辅导解:因为例1.设存在,且求所以)()1())(1(lim210xfxfx高等数学期末辅导设解:又例2.所以在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.0)0(f高等数学期末辅导例3处的，在点求曲线)1-1(6-422yxyx切线方程。解：6-422yxyx两边对x求导得：028yyyxyx-算出xyxyy28，斜率311yxyk所以切线方程为1)-3(1xy高等数学期末辅导例4.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导yy1xxlncosxxsin)sinlncos(sinxxxxxyx高等数学期末辅导.0sin21522xdydyyx导数所确定的隐函数的二阶求由方程例解求导得方程两边对xdxdy1注意y=y(x)0cos21dxdyy解得ydxdycos22上式两边在对x求导，得dxdyydyddxyd)cos22(222)cos2(sin2ydxdyy3)cos2(sin4yy注意：.cossinyxdydxdydydydxdydsinsinxdydycos高等数学期末辅导例6解.sincos33表示的函数的二阶导数求由方程taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttattattan)(22dxdydxddxydtdxdtdtd1)tan(ttatsincos3sec22tatsin3sec4)(tantdxddxdttdtd)tan(高等数学期末辅导例7.设由方程)10(1sin222yytttx确定函数,)(xyy求解:方程组两边对t求导,得txddt2txddyttycos12dd故xydd)cos1)(1(ytt22ttyddycostydd0)1(2ttyddtxdd高等数学期末辅导22ddxy)(ddddxyttxdd)()cos1)(1(ddyttt)1(2tyttysin)1()cos1(23)cos1()1(2yttyddyttysin)1(2)cos1(2233)cos1()1(2yt高等数学期末辅导例8.设其中可微,解:yd)d(sinsinxxee)d(sinsinxxee)d(sinsinsinxeexx)d(cossinxxxeeexexexxd)sin(cossinxxeecos高等数学期末辅导高等数学期末辅导例9求曲线的拐点及凹凸区间。43341yxx解::(,)D321212,yxx236().3yxx0,y1220,.3xx令得：x(,0)2(,)32(0,)3023()fx()fx凹的凸的凹的拐点拐点(0,1)211(,)3270022(,0],[0,],[,).33凹凸区间为高等数学期末辅导例10.求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与x,y轴的交点分别为所指面积MBA高等数学期末辅导且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点MBA高等数学期末辅导例11.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a为何值时,所围图形绕x轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?即故得高等数学期末辅导又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时V取最小值.xoy1xoy1高等数学期末辅导四、不定积分与定积分•计算：直接积分法、第一换元法、第二换元法（三角代换，倒代换，最小公倍代换）、分部积分法•积分上限函数求导（复合函数情形）•应用：面积（不同坐标系）、旋转体体积、弧长•对称性应用：奇函数、偶函数•无穷限广义积分高等数学期末辅导例1.求.d124xxx解:原式=xxxd11)1(24xxxxd11)1)(1(222221dd)1(xxxxCxxxarctan313高等数学期末辅导例2.求解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1(222xxeearctanxCex)1(ln221高等数学期末辅导例3xdxx2arccos2110解：xdxx2arccos2110)(arccos10arccos2xdx)arccos2(1021arccos2xdxcxarccos21010ln21caaxdaxxln1例4xdxxxlnln1解：xdxxxlnln1xdxxxd)ln1()ln()ln(ln1xxdxxcxx|ln|ln高等数学期末辅导22)(1d1axxa例5.求解:,axu令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1想到公式21duuCuarctan)(ax高等数学期末辅导例6.求解:xxxdcossinxxcoscosdxxxsindcosxxsinsind类似高等数学期末辅导Caxaxaln21例7.求解:221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa∴原式=a21axxaxxdda21axax)(da21axlnaxlnCaxax)(d高等数学期末辅导例8.求.)0(d22axxa解:令,),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd∴原式tacosttad