福州大学高等数学第五章向量代数一解几习题

第五章向量代数与空间解析几何§5.1向量及其运算p.1一.填空题1.(4,3,5),,MOxOyOzO点到轴轴轴及原点的距离分别是(,)52.dMO22(,)(3)534.dMx解22(,)4541.dMy22(,)4(3)5.dMz222(,)4(3)552.dMO(,)34(,)41,(,)5.dMxdMydMz2.(4,1,7),(3,5,2)OzAB在轴上与点等距离的14(0,0,).9点是(0,0,),z解设所求点的坐标为则22222241(7)35(2),zz1414,(0,0,).99z所求点为13.(1,1,1).3与三坐标轴正向成等角的单位向量是(cos,cos,cos),abc解设所求向量为则coscoscos,abc222coscoscos1,abc1coscoscos,3abc1(1,1,1).34.(2,1,7),,,ABBxyz向量的终点为且在轴轴轴上的4,4,7,(2,3,0).A投影依次为则起点的坐标是(,,),(2,1,7)(,,)(4,4,7),AxyzABxyz解设则(,,)(2,1,7)(4,4,7)(2,3,0).xyz5.2aijk向量与各坐标轴的夹角分别12122(),222aijkijk解,,343是.121cos,cos,cos,222,,cos.3436.53,aijkbijk已知向量与共线则115,.5511,15,.315解12127.(3,5,3),(3,3,5),3,MMMMMMM设且点使(3,1,3).OM则12(,,),3MxyzMMMM解设则由得(,,)(3,5,3)3[(3,3,5)(,,)],xyzxyz4(,,)(3,5,3)3(3,3,5)(12,4,12),xyz(,,)(3,1,3).xyz8.||||6,,,aaxyz设且与轴轴轴正向的夹角依次为,,(3,3,32).334a和则6(cos,cos,cos)(3,3,32).334a解二.计算题(p1).二计算题1.{1,1,1},{2,3,5},{2,1,2},设(1)||||,||||,||||;求000(2),,,,;求的单位向量000(3),,,,用表示.(1)||||3,||||38,||||3;解00011(2)(1,1,2),(2,3,5),3381(2,1,2);30(3)3,038,03.12342.,,,,,ABCBCDDDD的边五等分分点依次为再把1,AABcBCaDA各分点与点连接,试以表示,234DADADA,和.1111()(),5DAADABBDca解222(5DAADca),ABC1D2D3D4Dca333(),5DAADca444().5DAADca3.{3,5,8},{2,4,7},{5,1,4},abc设(1)43;(2)Pr;xabcj求求(3)(4);y求在轴上的分量;求的方向余弦(5)求与平行的单位向量.(1)43abc解4{3,5,8}3{2,4,7}{5,1,4},{13,7,15}.(2)Pr13;xj求(3)7yj在轴上的分量为;13715(4),,;443443443的方向余弦为13715(5),,).443443443求与平行的单位向量为(三.证明题p212.,,,,ABCGOOArOBr三设的重心为是坐标原点31231,().3OCrOGrrr求证:12,3OGOAAGrAD证明12(),3rABBD21,ABOBOArr121221(),332OGrrrBC1231().3rrr1232121()333rrrr§5.2向量的乘法运算p.3一.填空题1.(2,1,2)18aax与共线且满足的向量2(4,2,4).xa2.(2,2,1)(4,5,3)ab同时垂直于与的单位向量是1(1,2,2).33.(1,3,1)(2,1,3)ab以和为两边的平行四边形310.S的面积4.(2,1,1),(3,0,1)111165sin(,).ˆ21530abab已知=,则5.||5,||8,(,),||||7.ˆ3ababab已知且则6.(1,1,4),(1,2,2),Pr3.babja已知则3(,).ˆ4ab7.(3,5,2),(2,1,4),,ababz设又与轴垂直则,2.满足关系式二.计算题p31.(2,3,1),(1,1,3),(1,2,0),:abc计算(1)()();(2)()();(3)().abcacbabbcabc(1)()()abcacb解(21(3)(1)13)(21(3)(2))cb8(1,2,0)8(1,1,3)(0,8,24);(2)()()abbc(34,4)(2,3,3)(0,1,1);(3)()(2,3,1)(1,1,3)abcc(8,5,1)(1,2,0)2.2.375,4ababab若向量垂直于向量垂直于向量72,abab决定向量和间的夹角.2222(3)(75)07||1615||0,(4)(72)07||308||0ababaabbababaabb22||,||||,abbab22||||cos||||||,abbab1cos,.233.||||3,||||1,(,),23ˆ6abababab设计算以与.为邻边的平行四边形面积|(2)(3)|abab解:S=|326|aaabbabb|5|5||||sin6abab153531.22三.证明题123123.1.,,,,,,aaabbb三设为任意实数试利用向量有关知识:证明不等式222222123123112233||.aaabbbababab123123(,,),(,,),aaaabbbb证明令则222222123123||||aaabbbab|||||cos(,)|ˆabab112233||||.abababab2.:,,ab证明对任意的向量都有2222||||()||||||||.ababab2222||||||||||||sin(,).ˆababab证明2222()||||||||cos(,),ˆababab2222||||()||||||||.ababab§5.3平面与直线p.5一.填空题p51.(3,0,1)375120xyz过点且与平面平行的37540.xyz平面是2.(3,1,2)30.zxy过点且包含轴的平面是003.(2,9,6)MOM通过点且垂直于向量的平面方程296121.xyz是4.2250xyz平面与各坐标面的夹角余弦分221,,333别是5.1(0)axbyczabc平面与三个坐标面围成的1.6||Vabc四面体体积16.24xyzxyz直线的对称式方程是5211133().213213xyxyzz7.(3,1,1)629960xyz点关于平面的对称点是(9,5,17).8.(0,2,4)2132xzyz过点且同时平行于平面和2-8024().231-3100xzxyzyz的直线方程是二.计算题p500.1.(1,1,1)(2,1,1)MMM二求过点且垂直于与连线.的平面方程0(1,2,2),nMM解所求平面方程为1(1)2(1)2(1)0,xyz2230xyz011.2.(0,1,2)112xyzM二求过点且与直线平行.的直线方程12,112xyz解所求直线方程为11.2422xyxyyzxz或或210.3.2010xyzxyzxyz二求过直线且垂直于.的平面方程解设所求平面方程为21(1)0,xyzxyz1(2)2(1)(1)(1)0,1,4:310.xyz所求平面方程为.4.2228xyzxyz二求两平面与.的平分面方程(,,)Mxyz解平分面上的点到两平面的距离相等,|22|28|,66xyzxyz|22(28),xyzxyz1:20,yz得两个平分面:2:2100.xyz.5.(2,1,2)P二设一直线过点且与两直线12111213::101113xyzxyzLL与同时相交,求此直线方程.1(1,1,1),LAtt解设所求直线与相交于2(2,1,33),LBrrr与相交于(1,2,1),(,2,53)PAttPBrrr则121,,253ttPAPBrrr共线5,4r5351(,,)(5,3,5),4444PB212.535xyz所求直线方程为三.证明题p60.MLML三设是直线外的一点,是直线上的任意一点,0||.||MMsds00|||||||sin|,MMsMMs解0,LsML且直线的方向向量为证明:点到的距离0|||sin|,dMM0||.||MMssdsM0M§5.4--§5.4曲面与曲线p.7一.填空题p72221.2440xyzxyz球面的(1,2,2),3.R中心是半径2.(1,3,2),以点为球心且通过原点的球面方程是222(1)(3)(2)14.xyz23.5xOzzxx将坐标面上的抛物线绕轴旋转一周所225.yzx生成的旋转面方程是224.1.94xy方程所表示的曲面是椭圆柱面22225.:(1)5,(2)2,zxyxyy设有三元方程222222(3)1,(4)(1),xyzxyz则表示锥面(4).的方程是2226.1xyzxOy方程所表示的旋转面是由22.xyy上的双曲线=1绕轴旋转一周生成的2217.493xyy方程组在平面解析几何中表示(0,3)交点,在空间解析几何中表示2201.4933xyxyy直线或2228.22zxyzxxOy曲线与的交线在面上的投影221.0xyz曲线方程是二.计算题p71.(2,3,1)(4,5,6),一动点与两定点和等距离求这动点的轨迹方程.(,,),xyz解设动点坐标为则322222(2)(3)(1)(4)(5)(6)xyzxyz所求动点的轨迹方程为4410630.xyz222.4936xOyxyx将坐标面上的双曲线分别绕轴,.y及轴旋转一周求所生成的旋转曲面方程22249()36.xxyz解绕轴旋转的旋转曲面方程为2224()936.yxzy绕轴旋转的旋转曲面方程为3.指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中?分别表示什么22(1)2;(2)4.xxy(1)2,x解在平面解析几何中表示