中考数学必做压轴题分类之——二次函数与几何综合

二次函数与几何综合二次函数与几何综合是中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等．压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键．1、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．2、如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点C的坐标为(0，－2)，交x轴于A、B两点，其中A(－1，0)，直线l：x＝m(m＞1)与x轴交于D.(1)求二次函数的解析式和B的坐标；(2)在直线l上找点P(P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标(用含m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．4、已知抛物线y＝－x2－2x＋a(a≠0)与y轴相交于A点，顶点为M，直线y＝12x－a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于点N点．(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标；(2)将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；(3)在抛物线y＝－x2－2x＋a(a＞0)上是否存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B(0，－2)，A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴分别交于C、D两点，且CD＝4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标；(3)判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．6、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点M(－2，3)，顶点坐标为N(－1，433)，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．7、如图，二次函数y＝x2＋bx－3b＋3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C，且经过点(b－2，2b2－5b－1)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)⊙M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；(3)连接AM，DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F.若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标．8、如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－8，2.(1)求二次函数的解析式；(2)直线l以AB为起始位置，绕点A顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．①求点P的运动路程；②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连接PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；(3)在(2)的条件下，连接EF，求△PEF周长的最小值．9、已知抛物线C1：y＝－12x2，平移抛物线y＝x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于C(0，2)．(1)求抛物线C2的解析式；(2)抛物线C2与x轴交于A，B两点(点B在点A的右方)．求点A、B的坐标及过点A、B、C的圆的圆心E的坐标；(3)在过点(0，12)且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．10、如图，已知直线y＝－3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A和点C，对称轴为直线l：x＝－1，该抛物线与x轴的另一个交点为B.(1)求此抛物线的解析式；(2)点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；(3)点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．11、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴正半轴交于点C，且OC＝OB.(1)求此抛物线的解析式；(2)若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求出此时点E的坐标；(3)点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针方向旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．12、如图，已知抛物线y＝k8(x＋2)(x－4)(k为常数，且k＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－33x＋b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？13、已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1.(1)求抛物线解析式；(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1x2)，当|x1－x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标；(3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小时点O，B移动后的坐标及L的最小值．14、如图，抛物线y＝ax2－8ax＋12a(a＞0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点D的坐标为(－6，0)，且∠ACD＝90°.(1)请直接写出A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；(4)平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H(t，0)．记△ACD在直线m左侧部分的面积为S，求S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．15、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为45，求a的值；(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1、【思路点拨】(1)利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；(2)利用抛物线的轴对称性，BC与对称轴的交点即为M，继而求出其坐标；(3)设P(－1，t)，用含t的代数式表示PB、PC.对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得t的值．【解答】(1)依题意，得－b2a＝－1，a＋b＋c＝0，c＝3，解得a＝－1，b＝－2，c＝3.∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．∴把B(－3，0)、C(0，3)分别代入直线y＝mx＋n，得－3m＋n＝0，n＝3，解得m＝1，n＝3.∴直线y＝mx＋n的解析式为y＝x＋3.(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.∴M(－1，2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，M的坐标为(－1，2)．(3)设P(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18；解得t1＝3＋172，t2＝3－172.综上所述，P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，3＋172)或(－1，3－172)．2、【思路点拨】(1)把A(－1，0)、B(3，0)两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c即可求出b和c的值，进而求出抛物线的解析式；(2)设D(t，－t2＋2t＋3)，作DH⊥x轴，则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC，进而得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质，确定D点坐标与S△BCD的最大值；(3)因为两三角形的底边MB相同，所以只需满足MB上的高相等即可满足题意．【解答】(1)由－1－b＋c＝0，－9＋3b＋c＝0，解得b＝2，c＝3.∴抛物线解析式为：y＝－x2＋2x＋3.(2)设D(t，－t2＋2t＋3)，作DH⊥x轴．令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)．则S△BCD＝S梯形DCOH＋S△BDH－S△BOC＝12(－t2＋2t＋3＋3)t＋12(3－t)(－t2＋2t＋3)－12×3×3＝－32t2＋92t.∵－32＜0，∴当t＝－922×（－32）＝32时，即D(32，154)时，S△BCD有最大值，且最大面积为278.(3)∵P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，∵直线BC为y＝－x＋3，∴过点P且与BC平行的直线为y＝－x＋5.由y＝－x＋5，y＝－x2＋2x＋3，解得Q1(2，3)；∵直线PM为x＝1，直线BC为y＝－x＋3，∴M(1，2)．设PM与x轴交于E点，∵PM＝EM＝2，∴过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1.从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一．由y＝－x＋1，y＝－x2＋2x＋3，解得Q2(3＋172，－1＋172)，Q3(3－172，－1－172)．∴满足条件的Q点为Q1(2，3)，Q2(3＋172，－1＋172)，Q3(3－172，－1－172)．3、【解答】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为C(0，－2)，∴b＝0，c＝－2.∵y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，∴0＝a＋0－2，a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2x2－2