概率论第2章 条件概率与独立性

第二章条件概率与独立性条件概率与乘法公式全概率公式与贝叶斯公式事件的相互独立性重复独立试验二项概率公式2.1条件概率与乘法公式2.1.1条件概率例1在所有的两位数10到99中任取一个数。(1)求此数能被4整除的概率。(2)求此数为偶数的概率。(3)若已知此数为偶数，求此数能被4整除的概率。解设A={此两位数能被4整除}，B={此两位数为偶数}，样本空间={10,11,12,…,98,99}共90个样本点(1)A={12,16,…,92,96}共22个样本点，P(A)=22/90=11/45(2)B={10,12,14,16,…,96,98}共45个样本点,P(B)=45/90=1/2(3)若已知此数为偶数,样本空间=B=B，其样本点总数为45个；且能够被4整除的两位数样本空间=A=A,其样本点总数为22个。故AB={12,16,…,96}=AB，共22个样本点。在已知B发生的条件下，事件A发生的概率p=22/45叫做“条件概率”,写成：P(A|B)=22/45事件A的概率：已知事件B发生的条件下，事件A的概率：vvAAPA样本点数样本点数)()()(BPABPvvvvBABBABvBvABBAP样本点数样本点数)|(P(AB)P(A|B)P(B)vvAAPA样本点数样本点数)(BABvBvABBAP样本点数样本点数)|(方法1：用原样本空间计算条件概率方法2：用新样本空间B计算条件概率定义1对事件A、B，若P(B)＞0，则称为事件A在事件B(条件)发生下的条件概率。相对地，有时就把概率P(A)，P(B)等称作无条件概率。思考：利用条件概率的定义，推出P(A︱B)与P(A)的大小关系。说明：条件概率也是概率。条件概率满足概率性质。ABP(A|B)P(A)P(AB)P(A)ABAP(A|B)P(A)P(B)P(B)BAP(A|B)P(A)P(AB)P(B)ABBP(A|B)1P(A)P(B)P(B)ABP(A)P(A|B)0P(AB)P()P(A)P(A|B)0P(B)P(B)若条件概率的性质1、非负性对任一事件B，必有P(B|A)≥02、规范性3、可加性ABP(BA)1P(A)1若，则特别地，12nkkk1k1B,B,B,P(BA)P(BA)若，为一列两两互不相容事件，则P(B|A)=1P(BA)常用到-|例2一个家庭中有二个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大(假定一个小孩是男还是女是等可能的)？解样本空间Ω={(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)}A={已知有一个是女孩}={(男,女)，(女,男)，(女,女)}B={另一个也是女孩}={(女，女)}则P(AB)1/41P(B|A)P(A)3/43例3设已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8,能活过25岁的概率是0.4,问现龄20岁的该种动物能活过25岁的概率是多少？解设A={该种动物能活过20岁}B={该种动物能活过25岁}依题意有：P(A)=0.8，P(B)=0.4∵BA，∴AB=BP(AB)P(B)0.4P(B|A)0.5P(A)P(A)0.8例4盒子中有4只坏晶体管和6只好晶体管，任取两只，第1次取出的不放回。若已经发现第1只是好的，求第2只也是好的的概率。解法1设Ai={第i只是好的}，i=1,211691210261221012211CC693P(A)P1095P651P(AA)P1093P(AA)5P(A|A)P(A)9解法2在已经发现第1只是好的情况下，再取出第2只晶体管，样本空间变成只有9个样本点(9种可能结果)。此时取出一只是好的样本点有5个。所以这种方法是改变样本空间，用一般的P=r/n计算。215P(A|A)92.1.2乘法公式定理1若P(A)＞0，则有P(AB)=P(A)·P(B|A)若P(B)＞0，则有P(AB)=P(B)·P(A|B)此公式称为乘法定理。定理2设A1,A2,…,An为n个任意事件，且满足P(A1A2…An-1)＞0,则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)上式表明，事件积的概率可通过一系列条件概率的乘积来计算。证明：当P(A1A2An-1)＞0时，由于A1A1A2…A1A2…An-1,则有P(A1)≥P(A1A2)≥…≥P(A1A2…An-1)＞0由条件概率的定义，得□顺便指出，当P(A1A2…An-1)=0时，可知P(A1A2…An)=0121312n12n11231212n1n111212n112n1nP(A)P(A|A)P(A|AA)P(A|AAA)P(AAA)P(AA)P(AAAA)P(A)P(A)P(AA)P(AAA)P(AAAA)12n1n12n1n12n1P(AAAA)=P(AAA)P(A|AAA)=0---例5一批产品的次品率为4％，正品中一等品率为75％，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。解A{}B{}B{}P(B)0.04,P(B)0.96,P(A|B)0.75ABABAP(A)P(AB)P(B)P(A|B)0.960.750.72取到一等品取到次品取到正品则故例6设有10个球，7新3旧，分别放在三个盒子中。○表示新球，●表示旧球。现从中任取一球，问此球为新的概率。解新=甲且新∪乙且新∪丙且新P(新)=P(甲且新)+P(乙且新)+P(丙且新)=P(甲)P(新|甲)+P(乙)P(新|乙)+P(丙)P(新|丙)=1213121334333318例7为安全起见，工厂同时装有两套报警系统1,2。已知每套系统单独使用时能正确报警的概率分别为0.92和0.93，又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常工作的概率为0.85,试求该工厂在同时启用两套报警系统时，能正确报警的概率是多少？解A={工厂同时启用两套报警系统时,能正确报警}={报警系统1，2中至少有一套能正常工作}Bi={第i套报警系统能正常工作}的事件，i=1,2则有A=B1∪B21122P(B)0.92P(B)0.93P(B|B)0.85则有P(A)=P(B1∪B2)=P(B1)+P(B2)-P(B1B2)=0.92+0.93-0.862=0.98811221221221122P(BB)P(B(B))P(BBB)P(B)P(BB)P(B)P(B)P(B|B)0.930.080.850.862例8对某种产品要依次进行三项破坏性试验。已知产品不能通过第一项试验的概率是0.3；通过第一项而通不过第二项试验的概率是0.2；通过了前两项试验却不能通过最后一项试验的概率是0.1。求该产品未能通过破坏性试验的概率。解：设A={该产品未能通过破坏性试验}，Ai={产品未能通过第i项破坏性试验}i=1,2,3显然A=A1∪A2∪A3121312121312123121312P(A)0.3P(AA)0.2P(AAA)0.1P(A)0.7P(AA)0.8P(AAA)0.9P(A)1P(A)1P(AAA)1P(A)P(AA)P(AAA)10.70.80.90.496故例9一批零件共100个，次品率为10%。每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。解i123121312Aii1,2,3P(AAA)10990P(A)P(AA)P(AAA)1009998设第次取出的零件是次品，。则所求概率为显然123121312PAAAPAPAAPAAA109900.00841009998例10一个人依次进行四次考试，他第一次考试及格的概率为p(0p1)，又若他前一次考试及格，则本次考试的及格率为p，若前一次考试不及格，则本次考试的及格率为p/2，如果他至少要有三次考试及格，才能认为考试合格，问{他能考试合格}的概率有多大?解iAii1,2,3B{}设第次考试及格＝他考试能及格432143214321321AAAAAAAAAAAAAAAB则123412341234123121312412312131241231213124123121312333PB=PAAAA+PAAAA+PAAAA+PAAA=PAPAAPAAAPAAAA+PAPAAPAAAPAAAA+PAPAAPAAAPAAAA+PAPAAPAAAppp(1p)ppp1pppp1pppp22231p(1p)p53pp222.2全概率公式与贝叶斯公式2.2.1全概率公式定理3设B1,B2,…Bn…为一列(有限或无限个)两两互不相容的事件，有则对任一事件A，有kkk1BP(B)0k1,2,3,且kkk1P(A)P(B)P(A|B)证因为B1,B2,…,Bn,…是互不相容的，则AB1,AB2,…,ABn,…也是互不相容的。由于问题：１)P(Bi)＞0(i=1,2,…,n)的条件在哪里用到？２)没有此条件行吗？kk1kkkkk1k1k1P(A)P(A)P(AB)P(AB)P(AB)P(B)P(A|B)□kk1B例11袋中有大小相同的a个黄球、b个白球。现做不放回地摸球两次，问第2次摸得黄球的概率？解第2次摸球是在第1次摸球后进行的，但第1次摸球只有以下两种可能的结果：B1={第1次摸得黄球}B2={第1次摸得白球}现有B1B2=，B1+B2=。设A={第2次摸得黄球}P(A)=P(AB1)+P(AB2)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=aa1baaabab1abab1ab例12(抽签问题)6人分2张球票，抽签决定。问第1人抽得球票的概率与第2人抽得球票的概率是否相等？解设A={第1人得票}，B={第2人得票}P(A)=2/6=1/3第2人得票与第1人得票有关联，且A+Ā=，用全概率公式：P(B)=P(AB)+P(ĀB)=P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā)=可见，两人得票的概率相等。3152325131例13某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量15％，20%，30％和35％，又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。现从该工厂的这一产品中任取一件，问取到不合格品的概率是多少？解设A={任取一件产品，结果是不合格品}Bk={任取一件产品，结果是第k条流水线的产品}k=1,2,3,4P(B1)=0.15P(B2)=0.20P(B3)=0.30P(B4)=0.35P(A|B1)=0.05P(A|B2)=0.04P(A|B3)=0.03P(A|B4)=0.02由于B1,B2,B3,B4互斥，B1+B2+B3+B4=可用全概率公式,有P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)+P(AB4)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)+P(B4)P(A|B4)=0.150.05+0.20.04+0.30.03+0.350.02=0.0315例14一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的50％，另两家工厂的产品各占25％。已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率(此货合格率)。解设A1={晶体管产自甲厂}，A2={晶体管产自乙厂}，A３={晶体管产自丙厂}，B={晶体管是合格品}。则P(A1)=P(A3)=0.25P(A2)=0.5由全概率公式得：