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主讲教师:张丽清知识结构矩阵矩阵加减矩阵数乘矩阵乘法矩阵除法逆矩阵初等变换矩阵等价矩阵方程求逆方法:𝐴𝐸→𝐸𝐴−1复习行变换矩阵方程是什么?怎么解矩阵方程?主要内容实例1矩阵用来表示线性方程组下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养(它们的质量以适当的单位计量)。根据这个问题建立一个线性方程组,并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。设𝑥1,𝑥2,𝑥3分别为三种食物的摄入量.记系数矩阵A=365113071.1523474补齐:36𝑥1+51𝑥2+13𝑥3=330𝑥1+7𝑥2+1.1𝑥3=352𝑥1+34𝑥2+74𝑥3=45,未知量矩阵𝑋=𝑥1𝑥2𝑥3,常数项矩阵𝐵=33345则线性方程组的矩阵形式为𝐴𝑋=𝐵,即形如AX=CXB=DAXB=F其中A、B、C、D、F均为已知矩阵,而X为未知矩阵。则这三者都是矩阵方程矩阵方程当系数矩阵A、B都是可逆矩阵时解方程AX=C𝑨−𝟏𝑨𝑿=𝑨−𝟏C𝑿=𝑨−𝟏C解方程XB=D𝑿𝑩𝑩−𝟏=𝑫𝑩−𝟏𝑿=𝑫𝑩−𝟏同理:方程AXB=F的解为𝑿=𝑨−𝟏F𝑩−𝟏逆矩阵解法特殊的矩阵矩阵可逆唯一解例解矩阵方程12613152X例解矩阵方程312011201210111X例已知矩阵A、B、X满足下述关系11)()(TTBXABI其中5000140001300012,1000110001100011BA求X。解由可得11)()(TTBXABI111)(])[(TTBABIX11])([TTABIB11}]){[(TBABI410000310000210000140000300002000011▌1])[(TAB例设矩阵X满足,其中XAAX2321011324A(1)证明:可逆;(2)求X。IA2解(1)∵1001100111210113222行IA∴满秩IA2IA2由此得可逆。(2)由可得,故XAAX2AXIA)2(9122692683)2(1AIAX(另法)(1)由得XAAX2IIXXIXA2)(22)(整理后可得IIXIA)](21)[2(于是可逆。IA2(2)由上式得91226926831)2(2IAIX▌4613513412100010001矩阵方程:AX=C,XB=D,AXB=F其中A、B、C、D、F均为已知矩阵,而X为未知矩阵。当系数矩阵A、B都是可逆矩阵时,AX=CXB=DAXB=FCAX11CBX11FBAX
本文标题:07用逆矩阵解矩阵方程
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