第5章 鞅

第六章鞅第一节基本概念第二节鞅停时定理第三节连续时间鞅第四节鞅表示定理第一节基本概念一、离散鞅的定义及性质（1）||nXE（2）nnnXXXXE),,|(01则称}{nX为离散鞅序列简称为鞅定义1若随机序列对任意有,2,1,0},{nXn0n注无后效性鞅的直观背景解释设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n次的赌本为表示在已知前n次的赌本的条件下，第n+1次的平均赌本。而鞅则表示这种赌博使第n+1次的平均赌本仍为第n次的赌本，这种赌博称为公平赌博。如果}{nX为鞅，则它有某种即当已知时刻n以及它以前的值nXX,,0，那么n+1时刻的值1nX对nXX,,0的条件期望与时刻n以前的值10,,nXX无关，并且等于nXnX),,|(01nnXXXEnXX,,0nnnXXXXE),,|(01定义2对任意0n，有（1）||nXE（2）简称为鞅设}{nX及}{nY，,2,1,0n，为两个随机序列，nX是nYY，，0的函数；（3）nnnXYYXE),,|(01则称}{nX关于}{nY为鞅，}{nX例公平赌博考虑一个赌博者正在进行的一系列赌博1,1,nY------赌博者在第n次赌博时赢------赌博者在第n次赌博时输121(,,,)nnnbbYYY------第n次赌注01nniiiXXbY0X是初始赌资，则赌博者第n次赌博后的赌资为则11[,,]nnnEXYYX即{Xn}关于{Yn}是鞅。{Yn}独立同分布，且(1)(1)12nnPYPY定理1充分性显然证}{nX关于}{nY是鞅的充要条件为，对任意非负整数m，n（nm）有nnmXYYXE),,|(0必要性用归纳法来证由假设知（1）当1nm时（1）成立。设当knm（1k）时（1）成立，则有),,|(01nknYYXE],,|),,|([001nknknYYYYXEE),,|(0nknYYXEnX即当1knm时（1）成立。性质1常数序列为鞅。证性质2即证}{nc其中ccn),,|(01nnYYcE),,|(0nYYcEncc若}{nX为鞅，则对任意0n，有0EXEXnnX的数学期望nEX是一常数0EX)],,|([011nnnYYXEEEXnEX依次递推，可得01EXEXEXnn定义3对任意0n，有（1）||nXE（2）简称为上鞅设}{nX及}{nY，,2,1,0n，为两个随机序列，nX是nYY，，0的函数；（3）}{nX二、上、下鞅的定义及性质nnnXYYXE),,|(01则称}{nX关于}{nY为上鞅类似下鞅nnnXYYXE),,|(01关于上、下鞅的的直观解释：上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第n年的赌本，即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博；下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本，即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。性质3为鞅的充分必要条件是，既为上鞅也为下鞅。性质4上鞅}{nX}{nX}{nX下鞅}{nX下鞅}{nX上鞅}{nX性质5上鞅}{nXnnmXYYXE),,|(0nm0,0nm下鞅}{nXnnmXYYXE),,|(0nm0,0nm证明同定理1类似。用数学归纳法性质6上鞅}{nX下鞅}{nXnkEXEXEX0nk0nk0证由性质5得kknXYYXE),,|(0上鞅}{nXkknEXYYXEE)],,|([0nEXnkEXEXEX0上鞅性质7、上鞅}{nX}{nY}{nnYX下鞅、下鞅}{nX}{nY}{nnYX证对nm有)],,|)[(0nmmYYYXE),,|(0nmYYXE),,|(0nmYYYE上鞅}{nX}{nYnnYX上鞅性质8上鞅下鞅}{nX}{nY证}{nnYX下鞅下鞅上鞅}{nX}{nY}{nnYX由性质4及性质7立即可得结果性质9鞅}{nX下鞅证明|}{|nX),,||(|0nmYYXE|),,|(|0nmYYXE||nX例1令且对任意有证由条件期望的性质可得设}{nY（,2,1,0n）为独立随机序列，00YknknYX0),,|(01nnYYXE],,|)[(01nnnYYYXE),,|(0nnYYXE),,|(01nnYYYE1nnEYXnX0nEY0n则}{nX关于}{nY是鞅||||0knknYEXE且所以}{nX关于}{nY是鞅例2在例1中，若，则关于是下（上）鞅。但是，关于是鞅。0(0)nEYnXnYnnMXnnY证明因为),,|(01nnYYXE],,|)[(01nnnYYYXE),,|(0nnYYXE),,|(01nnYYYE1nnEYXnnXX所以，关于是下鞅nXnY又1010100101(|,,)(((1))|,,)(|,,)(1)(|,,)(|,,)(1)()(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnEMYYEXnYYEXYYnEXYYEYYYnXEYnXnXnM所以，关于是鞅。nYnM例3令证（1）设}{nY是任一随机序列，X为满足||XE的任一随机变量),,|(0nnYYXEX0n则}{nX关于}{nY是鞅|),,|(|||0nnYYXEEXE)],,||(|[0nYYXEE||XE（2）),,|(01nnYYXE],,|),,|([010nnYYYYXEE),,|(0nYYXEnX所以}{nX关于}{nY是鞅。],,|),,|([100nnYYYYXEE例4设{，}是在直线上整数点上的贝努利随机游动，即它是一个以为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵满足nX,2,1,0n},2,1,0{I)(ijpP其中则（1）,1,10,||1ijpjipqjiji（2）（3）{nX，,2,1,0n}是下鞅的充要条件是qp{nX，,2,1,0n}是上鞅的充要条件是qp{nX，,2,1,0n}是鞅的充要条件是qp01,1ppq证设其中所以故nnXX2100X表示初始位置{n}与0X独立{n，,2,1,0n}相互独立，且具有同分布：pPn)1(qPn)1(1n由nX的定义知，1n与{0X，1X，…，nX}独立),,,|(011XXXXEnnn),,,|(011XXXEnnn),,,|(01XXXXEnnn)(1nEnXqpnX),,,|(011XXXXEnnnnXqp下鞅00=0上鞅鞅例5（波利亚（Polya）坛子抽样模型）考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初坛子中红黄两色球各一个，每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果取出的是红色球，则放回的同时再加入一个同色的球；如果取出的是黄色球，也采取同样作法。以Xn表示第n次抽取后坛子中红球的个数。则X0=11(1)2nnkPXkXkn12()122nnknkPXkXknn令Mn表示第n次抽取后红球所占的比例，则2nnXMn且{Mn}是一个鞅。事实上111()()(1)(1)2(3)(1)222nnnnnnEXXkkPXkXkkPXkXknkknkkknnn所以1(3)()2nnnnXEXXn11011(,,)()()12(3)11()3322nnnnnnnnnnnXEMXXEMXEXnnXXEXXMnnnn由于{Xn}是马尔可夫链，从而三、条件（Jensen）不等式1、凸函数：定义在有限或无穷区间I上的函数称为凸函数，若，有()x,,01xyI()(1)()((1))xyxy2、条件（Jensen）不等式设是区间I上的凸函数，随机变量X满足()x(1)(2)()EXEX则[()][()]nnEXEX由此可得，当是鞅（下鞅）时，是下鞅。nX2nX第二节鞅的停时定理一、停时的定义设}{nY（,2,1,0n）是一随机序列，是取值0，1，…，的一个随机变量，若对任意0n，事件}{n由nYY,,0决定，意即只从nYY,,0的知识判别n与否，也即0{}(,,)nnYY则称关于}{nY为停时，简称为停时停时的直观背景解释：设想赌徒在前n+1次赌博的赌本为，那么停时就是这个赌徒决定何时停止赌博的策略。停时的性质表示这一事件只依赖于n时刻以前（包括n时刻）的赌本，而与将来的赌本无关，即赌徒在时刻n是否停止赌博，只依赖于他过去的经历，而与尚未见到的将来情况无关。nYY,,0}{n,1nY定理2设是取值0，1，…，的一个随机变量，}{nY是随机序列下列命题等价：0n（1）（2）（3）关于}{nY为停时0{}(,,)nnYY0{}(,,)nnYY证明（1）与（2）的等价性一方面0{}{}nmnm另一方面{}{}{1}nnn例4（2）与（3）的等价性由如下两个等式关系即得{}{}nn{}{}nn设k（k为一常数），则为停时。若S,T为停时，则S+T,max{S,T},min{S,T}也是停时。若T为停时,令Tn=min{T,n}，则Tn为停时，且012nTTTTn令例5即为首次进入A的时刻，则是停时。设A为}{nY的状态空间T的一个子集，}min{)(AYnAn：)(A)(A证从)(A的定义直接得到011{()}{,,,,}nnAnYAYAYAYA即)(A是停时。注若令为最后进入A的时刻，则不是停时。)(A)(A原因是要确定，不仅要看是否取值在A中，还需知道全部的情况。nA)(nYY,,0,1nY二、鞅停时定理定理：设M0,M1,…是一关于X0,X1,…的鞅，T是一个关于X0,X1,…的停时，并且有界，即T≤K，记01(,,,)nnFXXX则有000(),TTEMFMEMEM证明：因为T≤K，所以{}0KTjTjjMMI{}{1}TKTK()1PTK实际上是指{}01{}101{}1{}101{}{1}101{}{1}101{}{1}10()()()()()()KTjTjjKTKjTjKjKjTjKKTKKjKjTjKTKKjKjTjTKKKjKjTjTKKjMMIEMFEMIFEMIFEMIFMIEMIFMIIEMFMIIM2{1}1{}02{2}1{}02122{2}1{}2023{2}2{}{2}2{}00{3}20()(())[()]KTKKjTjjKTKKjTjjTKTKKKTKKjTjKjKKTKKjTjTKKjTjjjKTKKjjIMMIIMMIEMFEEMFFEIMMIFIMMIIMMIIMM3{}0{0}00()TjTTIEMFIMM上述定理中的条件太强，许多问题中并不满足这一条件，下面放宽这一条件。{}1PTK假设{}1PT此时可考虑停时,min{,},nTTnTTnnTn则{}{}{}{}()()()nnTTTTnnTnTTTTnnTnMMMIMIEMEMEMIEMI显然，0,nTEMEM要想0,TEMEM则应有{}{}l