第4章 截交线与相贯线

第4章截交线和相贯线4.1截交线4.2相贯线下一页绘制较复杂形体的投影图时，常常需要画出形体表面上的交线——平面与立体表面的交线或两立体表面的交线。掌握这些交线的性质和画法，将有助于准确地画出机件的投影，也有利于读图时对机件结构形状的分析。截交线性质：1）截交线是截平面与立体表面的共有线，因此，求截交线就是求截平面与立体表面的共有点。2）由于立体表面是封闭的，故截交线一定是封闭的平面曲（折）线。3）截交线的形状由立体表面形状和截平面与立体的相对位置决定。截交线截断体4.1截交线截平面上一页下一页第4章截交线和相贯线4.1.1平面立体的截交4.1.2回转体的截交线1.平面与棱锥相交2.平面与棱柱相交4.1.1平面立体的截交线平面立体的截交线是封闭的平面多边形，此多边形的各个边为截平面与平面立体表面的交线，多边形的各个顶点为截平面与平面立体上某些棱线、边线的交点。所以求平面立体截交线的实质就是求截平面与平面立体表面的交线，即求截平面与平面立体上某些棱线、边线的交点。上一页下一页4.1截交线1.平面与棱锥相交平面与棱锥相交产生的截交线求法如下:（1）找到截平面与棱锥上若干条棱线的交点；如果立体被多个平面截割，应求出截平面间的交线。（2）依次连线各点；（3）判断可见性（4）整理轮廓线上一页下一页4.1.1平面立体的截交线4.1截交线[例1]：求正垂面截切三棱锥的投影。上一页下一页1.平面与棱锥相交4.1.1平面立体的截交线4.1截交线虚拟截切三棱锥11″2″23″3例1求解过程上一页下一页1.平面与棱锥相交4.1.1平面立体的截交线4.1截交线例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。321(4)1●2●4●3●1●2●4●交线的形状？3●★投影分析★求截交线★分析棱线的投影★检查类似性截平面与立体的几个棱面相交?截交线与投影面的位置关系?[例2]求立体切割后的投影231116654326ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4（5）2（3）上一页下一页451.平面与棱锥相交4.1.1平面立体的截交线4.1截交线虚拟截切四棱锥2.平面与棱柱相交平面与棱柱相交产生的截交线求法如下:（1）求出截平面与棱柱上若干条棱线的交点；如果立体被多个平面截割，应求出截平面间的交线。（2）依次连接各点；（3）判断可见性（4）整理轮廓线上一页下一页4.1.1平面立体的截交线4.1截交线[例3]：求作切口六棱柱的侧面投影。上一页下一页2.平面与棱柱相交虚拟截切六棱柱4.1.1平面立体的截交线4.1截交线)e′))(h′(i′b′f′(g′d′c′(a′)fgehdb(c)a(i)f″e″g″d″h″c″i″b″a″上一页下一页例3求解过程2.平面与棱柱相交4.1.1平面立体的截交线4.1截交线棱柱上的截交线【例4-1】如图a所示，求作五棱柱被正垂面Pv截断后的投影。a'b'c'd'e'abcdeabcdePva)b)分析截平面与五棱柱的五个侧棱面均相交，与顶面不相交，故截交线为五边形ABCDE。作图，如图a所示1）由于截平面为正垂面，故截交线的V面投影a′b′c′d′e′已知；于是截交线的H面投影abcde亦确定；2）运用交点法，依据“主左视图高平齐”的投影关系，作出截交线的W面投影a″b″c″d″e″；3）五棱柱截去左上角，截交线的H和W投影均可见。截去的部分，棱线不再画出，但有侧棱线未被截去的一段，在W投影中应画为虚线。4）检查、整理、描深图线，完成全图，如图b所示。带缺口的平面立体的投影【例4-4】如图a所示，已知带有缺口的正六棱柱的V面投影，求其H面和W面投影1'(2')3'(4')565'(6')7'(8')9'(10')1(7)3(9)2(8)651(3)2(4)8(10)7(9)4(10)a)b)分析1）从给出的V面投影可知，正六棱柱的缺口是由两个侧平面和一个水平面截割正六棱柱而形成的。只要分别求出三个平面与正六棱柱的截交线以及三个截平面之间的交线即可。2）这些交线的端点的正面投影为已知，只需补出其余投影。3）Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ四点是左边的侧平面与立体相交得到的点，Ⅲ、Ⅳ、Ⅸ、Ⅹ是右边的侧平面与立体相交得到的点，Ⅴ、Ⅵ两点为前后棱线与水平面相交得到上的点，其中直线Ⅶ、Ⅷ和Ⅸ、Ⅹ又分别是左右两侧平面与水平面相交所得的交线。作图如图a所示1）利用棱柱各侧棱面的积聚性、点与直线的从属性及“主左视图高平齐”的投影关系依次作出各点的三面投影。2）连接各点。将在同一棱面又在同一截平面上的相邻点的同面投影相连。3）判别可见性。只有7〞8〞、9〞10〞交线不可见，画成虚线。4）检查、整理、描深图线，完成全图返回4.1.2回转体的截交线1.圆柱的截交线2.圆锥截交线3.圆球的截交线4.组合回转体的截交线上一页下一页平面与回转体相交，截交线一般为封闭的平面曲线，特殊情况为平面多边形。截交线上的每一点都是立体表面与截平面的共有点，因此，求作这种截交线的一般方法是：作出截交线上一系列点的投影，再依次光滑连接成曲线。4.1截交线求圆柱截交线上点的方法表面取点法：在圆柱表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点；当圆柱的轴线处于特殊位置时，可利用圆的积聚性直接求得截交线上的点的投影。上一页下一页1.圆柱体的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线[例1]求圆柱截交线aa'adcb'bbfedcc'd'e‘f'ef解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2．求出截交线上的特殊点A、B、C、D；3．求出若干个一般点E、F、G、H；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。hgg‘h'ghEFHG上一页下一页1.圆柱体的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线虚拟斜切横置圆柱2143[例2]求圆柱截交线解题步骤1．分析截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4．整理轮廓线。1′(2')1(3)3′(4′)2(4)上一页下一页ⅡⅠⅢⅣ虚拟两侧切直立圆柱1.圆柱体的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线1234[例3]求圆柱截交线解题步骤1分析截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4整理轮廓线。1'(2')3'(4')1(3)2(4)上一页下一页ⅡⅠⅢ(Ⅳ)虚拟中间切直立圆柱1.圆柱体的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线[例4]求带切口圆柱的三面投影上一页下一页虚拟侧切、中间切直立圆柱1.圆柱体的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线上一页下一页1.圆柱体的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线[例题5]想象出物体及其侧面投影的形状上一页下一页虚拟中间切直立圆筒1.圆柱体的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线1.圆柱体的截交线立体图投影图说明截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的两条直线。截平面垂直于轴线，交线为圆。截平面倾斜于轴线，交线为椭圆。上一页下一页4.12.回转体的截交线4.1截交线虚拟竖切圆柱虚拟横切圆柱虚拟斜切圆柱例5：求左视图★空间及投影分析★利用积聚性求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置●●解题步骤：同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。●●例6：求左视图●●●●例7:补画出立体的左视图2.作左切面上的投影1.作圆柱的左视图3.作下部通槽的投影4.判别可见性5.整理并擦除多余的线,完成作图.㈡圆锥体的截切过锥顶两相交直线PV圆PVθθ=90°PV椭圆αθθ＞α抛物线PVθαθ=α双曲线PVαθ=0°＜α求圆锥截交线的方法1.求特殊点；2.求一般位置的点；3.判断可见性；4.光滑连线。求截交线上一般位置的点方法通常采用纬圆法：在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点。上一页下一页2.圆锥的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线[例1]求圆锥截交线解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．求出一般点Ⅴ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。上一页下一页ⅡⅠⅢⅣⅦⅧⅥⅤ11'3'(4')2'5'(6')7'(8')25634781″2″7″8″3″4″5″6″2.圆锥的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线虚拟斜切直立圆锥[例2]求圆锥截交线解题步骤1．分析截平面为正平面，截交线为双曲线；截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；2.求截交线上的特殊点A、C；3．求出一般点B；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。acbb'a'abcc'上一页下一页ACB2.圆锥的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线虚拟侧切直立圆锥3.圆球的截交线上一页下一页任何位置的截平面截切圆球时，截交线都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆，在另外两投影面上的投影为直线；当截平面为投影面垂直面时，截交线在该面上的投影为直线，而另外两投影为椭圆。4.12.回转体的截交线4.1截交线虚拟切圆球例9：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。判断可见性[例2]求圆球截交线上一页下一页虚拟四周切半球2.圆球的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线4.组合回转体的截交线求作组合回转体的截交线，必须先弄清它由哪些回转体组成，截平面的位置及截切回转体的范围，截平面与各回转体的截交线的形状及接合点。然后分别求出截平面与各被截回转体的截交线，并在结合点处将它们连接起来。例1例2例3上一页下一页4.12.回转体的截交线4.1截交线[例1]分析并想象出物体的投影上一页下一页4.组合回转体的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线[例2]求出物体切割后的投影上一页下一页ⅡⅠⅢ1'2'3'123123虚拟切异径锥柱组合体4.组合回转体的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线例10:补画复合回转体的俯视图。1:求水平面与立体的交线1)找特殊点2)补充中间点3)依次光滑连接各点2:求正垂截面与立体的交线1)找特殊点2)补充中间点3)依次光滑连接各点并整理4)作水平面与立体的其他交线并整理(四)复合回转体的截切[例3]已知组合回转体正面投影，完成水平、侧面投影。上一页下一页4.组合回转体的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线虚拟切同径锥柱组合体a'ab'(f')bfabf1'(2')1212c'(e')(c)(e)ced'dd3'(4′)3434上一页下一页4.组合回转体的截交线4.12.回转体的截交线4.1截交线§4-2立体的相贯线1.相贯线——两立体表面的交线。2.相贯线的性质⑴封闭性：相贯线是封闭的空间或平面的线。⑵共有性：是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。123.相贯线的分类——根据立体几何性质⑴平面立体与平面立体相交⑵平面立体与曲面立体相交⑶曲面立体与曲面立体相交121212两平面立体的相贯线，实质上是求一形体各侧棱面与另一形体各侧棱面的交线,也可以求各侧棱对另一形体表面的交线，然后把位于形体1同一侧棱面，又位于形体2同一侧棱面上的两点，依次连接起来。故作图可归结为平面与平面立体相交的截交线问题。返回12两平面立体相交1212平面立体与曲面立体相交时，相贯线由若干段平面曲线或平面曲线和直线组成。各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面截割曲面所得的截交线。每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的侧棱与曲面体表面的交点。返回例题平面立体与曲面立体相交abcda(b)d(c)b'(c')a'(d')上一页下一页4.2.1平面立体与回转体的相贯线先利用圆柱面投影的积聚性，确定相